Teselados I

En su versión más simple, teselar significa cubrir una superficie (también puede ser el espacio pero de eso hablaremos después) con elementos regulares o irregulares, sin dejar resquicios y sin sobreponerse.

A un arreglo de formas bidimensionales que cumplan esas características se le llama teselado y se puede clasificar de la siguiente manera:

Teselados Periódicos

Son aquellos que tienen traslaciones que los hacen coincidir con ellos mismos. Tenemos los siguientes casos:

Teselados Regulares: El plano se cubre con un solo tipo de polígono regular (los que tienen lados y ángulos iguales).
Teselado Semirregular: Este cubrimiento contiene más de un polígono regular, con la condiciòn de que el arreglo de polígonos sea el mismo en cada vértice.
Teselado Demirregular: Utiliza más de un polígono regular como en el caso anterior pero el patrón no se repite en cada vértice.
Teselado Irregular: Es el que no contiene polígonos regulares.

Teselados Aperiódicos

Son aquellos que no tienen tienen traslaciones que los hagan coincidir con ellos mismos.

Si algo no quedó claro, en esta y próximas entradas vamos a estudiar cada uno de ellos.

Para comenzar analizaremos los teselados regulares y descubriremos las condiciones que deben cumplir los polígonos regulares para teselar. Iniciamos con pentágonos:

Como podemos observar nos queda un resquicio donde, de ninguna manera podemos insertar otro pentágono. ¿Qué podemos aprender de esto? Vamos a enfocarnos en los ángulos. La fórmula para obtener el ángulo interno de un polígono regular de $n$ lados es:

$$\alpha = \frac{180\left ( n - 2 \right )}{n}$$

Para un triángulo equilátero ($n=3$):

$$\alpha = \frac{180\left ( 3 - 2 \right )}{3}=60$$

Para un cuadrado ($n=4$):

$$\alpha = \frac{180\left ( 4 - 2 \right )}{4}=90$$

Para un pentágono ($n=5$):

$$\alpha = \frac{180\left ( 5 - 2 \right )}{5}=108$$

Para un hexágono ($n=6$):

$$\alpha = \frac{180\left ( 6 - 2 \right )}{6}=120$$

Con ayuda de estos resultados y el hecho de que si damos un giro completo, tenemos un ángulo de $360^{o}$ (o $2 \pi$ radianes):

Analizaremos con mayor detalle el caso del pentágono. Sabemos que su ángulo interno mide $108^{o}$. Este número cabe tres veces en $360$ y deja un residuo de 36:

De aquí podemos deducir que para que un polígono regular tesele, es necesario que la medida de su ángulo interno no deje residuo al dividir 360, es decir, que sea un divisor de esa cantidad,

En los cálculos realizados se observan tres divisores de 360: 60, 90 y 120 (correspondientes al triángulo equilatero, cuadrado y hexágono, respectivamente). Por lo tanto sólo ellos pueden cubrir totalmente el plano con las condiciones mencionadas, esto lo podemos ver en las siguientes figuras:

Triángulo

Figura 1

Cuadrado

Figura 2

Hexágono

Figura 3

No existen polígonos regulares de más de seis lados que puedan cubrir totalmente el plano sin solaparse, esto se puede demostrar y aquí lo haremos con argumentos sencillos:

Como puede verse en los cálculos anteriores, a medida que se incrementa el número de lados, crece la magnitud del ángulo interno. Por lo tanto, dado que el hexágono tiene un ángulo interno de $120^{o}$, los de siete o más lados, superarán esta medida. Esto significa, que de existir un polígono diferente debe cumplir con dos condiciones: que su ángulo interno sea mayor que $120$ y divisor de $360$, los únicos números que cumplen con esto son 180 y 360 y es evidente (¿verdad?) que no puede haber poligonos regulares con ángulos internos de estas medida.. Por lo tanto los único que sirven a nuestro propósito son los que habiamos mencionado y que se muestran en las figuras anteriores.

Todo lo que se ha dicho y demostrado hasta aquí, se puede justificar de manera dirtecta con un esfuerzo ligeramente mayor y lo vamos a hacer para los que disfrutan el exquisito sabor de las ecuaciones (si no tienes el temple, puedes irte directamente hasta el Teorema del panal un poco más abajo). Sabemos que el ángulo interno de un polígono regular se calcula con (ahora en radianes):

$$\alpha =\frac{\left ( n-2 \right )\pi }{n}$$

Si el teselado es regular, debe haber en cada vértice la misma cantidad de polígonos de n lados, si llamamos m a esta cantidad, se debe cumplir:

$$m\frac{\left ( n-2 \right )\pi }{n}=2\pi $$

Lo que esta última ecuación dice es que la suma de los ángulos alrededor de cada vértice es igual a $ 2\pi $ radianes. Regularmente la ecuación se presenta de la siguiente manera (despues de manipularla algebraicamente):

$$2m-mn+2n=0$$

Esta ecuación (y cualquiera que busque valores enteros para sus incógnitas) se llama diofántica y aunque el teorema de Matiyasevich nos dice que no existe un método general para resolverlas, podemos encontrar las soluciones de esta relativamente fácil. Lo primero que haremos es transformar la ecuación anterior hasta dejarla de la siguiente forma:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$$

Asi el problema se reduce a expresar la fracción un medio como suma de dos fracciones unitarias. La solución trivial es:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$$

Es decir, $m=4$ y $n=4$. Cuatro cuadrados (recordar que $m$ es el número de polígonos y $n$ el número de lados) como en la figura 2.

Otras soluciones se pueden obtener de la expresión que permite separar cualquier fracción unitaria en la suma de otras dos.

$$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}$$

De aquí se deduce:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$$

Esto nos dice:

$m=3$ y $n=6$. Tres hexágonos como en la figura 3. O también:
$m=6$ y $n=3$. Seis triángulos como en la figura 1.

Ahora si, podemos pasar a lo siguiente.

Teorema del Panal

Existe un resultado llamado teorema del panal que afirma que el teselado hexagonal presenta la mejor manera de cubrir una superficie con figuras de igual área utilizando el menor perimetro. Esto explica por qué los fabricantes de redes (en porterías, por ejemplo) y mallas de alambre utilizan hexágonos: les permite ahorrar material.

La demostración de este teorema se debe a Thomas C. Hales y es muy complicada, sin embargo podemos demostrar que, de los polígonos regulares que teselan el plano, el hexágono regular es el que minimiza el perimetro cuando mantenemos el área constante.

Primero nos centraremos en el ángulo central de un polígono regular de $n$ lados:

En radianes:

$$\theta = \frac{2\pi }{n}$$

El apotema se relaciona con la mitad de este ángulo y la mitad del lado mediante la tangente:

$$\tan \alpha =\frac{\frac{L}{2}}{a}=\frac{L}{2a}$$

Pero:

$$\alpha =\frac{\theta }{2}=\frac{\frac{2\pi }{n}}{2}=\frac{2\pi }{2n}=\frac{\pi }{n}$$

Entonces:

$$\tan \frac{\pi }{n} =\frac{L}{2a}$$

De aquí podemos despejar $L$:

$$L=2a\tan \frac{\pi }{n}$$

El perimetro ($P$) de un polígono regular es:

$$P=nL$$

Sustituyendo la ecuación para $L$ tenemos:

$$P=n\left(2a\tan \frac{\pi }{n}\right)= 2na\tan \frac{\pi }{n}$$

Tambien sabemos que en función del apotema y del perimetro, el área es:

$$A=\frac{Pa}{2}$$

Mediante un despeje sencillo:

$$a=\frac{2A}{P}$$

Sustituyendo en la última expresión para el perémetro obtenemos:

$$P=2n\left ( \frac{2A}{P} \right )\tan \frac{\pi }{n}=\frac{4An}{P}\tan \frac{\pi }{n}$$

Reacomodano y despejando el perimétro nos queda:

$$P=\sqrt{4An\tan \frac{\pi }{n}}$$

El perimetro en función del número de lados si el área es constante. Sin pérdida de generalidad tomamos $A=1$:

$$P\left ( n \right )=\sqrt{4n\tan \frac{\pi }{n}}$$

Si evaluamos para valores $n=3$, $n=4$ y $n=6$ obtenemos:

$$P\left (3 \right ) = 4.55$$

$$P\left (4 \right ) = 4$$

$$P\left (6 \right ) = 3.72$$

De los polìgonos regulares que teselan el plano, el hexagono ($n=6$) presenta menor perimetro para cierta área dada

Sin embargo el teorema del panal va más allá, afirma que el hexagono representa la forma óptima para minimizar el perimetro, respecto a cualquier forma que pueda teselar. Y esto de alguna manera lo saben las abejas desde hace mucho tiempo, por eso los panales tienen forma hexagonal: les permite utilizar una menor cantidad de cera.

Los polígonos regulares se pueden utilizar para crear teselados con formas caprichosas, basta aplicarles una de las siguientes transformaciones:

I Trasladar un lado o parte de él, hacia el lado opuesto

Esto se puede hacer con cuadrados y hexágonos (tambien con rectángulos) de la siguiente manera:

Comenzamos con un hexágono.

Hacemos un trazo con la forma que se nos antoje sobre un lado (en este caso fue en lado completo, pero puede ser en una parte de él).

Cortamos y trasladamos hacia el lado opuesto:

Pegamos:

Aunque la forma obtenida permite teselar, vamos a seguir transformándola. Hacemos lo mismo con otro lado:

Volvemos a cortar y a trasladar:

Pegamos:

Aún podemos hacer lo mismo con el tercer par de lados y obtener otra forma, pero vamos a dejarla así, con esta pieza podemos realizar el siguiente teselado, mediante simples traslaciones:

II Rotación de $180^{o}$ de parte de un lado alrededor de su punto central

Nuevamente partimos de un hexágono:

Hacemos un trazo en uno de los lados:

Cortamos y rotamos $180^{o}$ tomando como centro el punto medio del lado (señalado con rojo):

Por último pegamos;

Hacemos lo mismo con el siguiente lado:

Y con el otro:

Nuevamente:

Con esta última figura y con algunas rotaciones de $180^{o}$ podemos obtener:

Podemos combinar las dos transformaciones previas. Para ejemplificar vamos a tomar la figura del teselado anterior anteriores y le haremos un corte en un lado para trasladarlo al de enfrente para obtener:

Dependiendo de la imaginación y creatividad del realizador, la figura resultante puede decorarse para convertirse en el objeto (animal, persona o cosa) que su capacidad artística permita. En mi caso voy a dejarla así:

III Giro a partir de un vértice

Llamamos a nuestro viejo amigo hexágono para comenzar:

Realizamos un trazo sobre uno de sus lados

Cortamos y rotamos $120^{o}$ respecto al vértice (punto rojo):

Pegamos:

Hacemos lo mismo con otro lado, respetando la siguiente regla: los vertices que son centro de giro no deben pertenecer al mismo lado.

Ahora con el otro:

Y con rotaciones ($120^{o}$) y traslaciones tenemos el siguiente teselado:

Podemos transformar la pieza anterior trazando otra forma caprichosa en la parte del lado donde terminó la rotación para después cortarla y rotarla $120^{o}$ respecto al mismo punto (el vértice) sólo que ahora en contra de las manecillas del reloj.

Trazamos: