Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 9 de septiembre.

 PRISMAS Y CILINDROS

APRENDIZAJE ESPERADO

Calcula el volumen de prismas y cilindros rectos

Un prisma es un cuerpo geométrico que consta de caras  iguales y paralelas llamadas bases y de caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se nombran por la forma de su base, si la base es un rectángulo se llama prisma rectángular; si es un hexágono, prisma hexagonal; etc.

Un cilindro es un cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos planos paralelos, aunque existen varios tipos, aquí solo trataremos el circular, es decir, cuando las caras paralelas son círculos iguales:

Los prismas y cilindros, se pueden formar a partir de desarrollos planos:

Para un prisma pentagonal:

Para un prisma rectángular:

Para un cilindro circular:

 

 

El cubo tiene 11 desarrollos planos:

Para encontrar el volumen de prismas y cilindros se multiplica el área de la base por la altura. Para esto tenemos la siguiente fórmula:

$$V=A_{b}h$$

El área de la base depende de la figura.

Si es triángulo, el área es: base por altura sobre dos

$$A_{b}=\frac{b\times h}{2}$$

Si es un rectángulo, el área es: base por altura:

$$A_{b}=b\times h$$

Si es un cuadrado el área es: lado por lado.

$$A_{b}=L\times L=L^{2}$$

Si es un polígono regular el área es: perímetro por apotema sobre dos.

 $$A_{b}=\frac{P\times a}{2}$$

Si es cilindro el área es: pi (3.14) por el cuadrado del radio.

$$A_{b}=\pi r^{2}$$

Ahora vamos aresolver algunos ejercicios.

1.- Calcular el volumen del siguiente prisma hexagonal:

 

 

Como nos dan el área de la base y la altura, solo hay que aplicar la fórmula:

$$V=A_{b}h=(77.24cm^{2})(10cm)=772.4cm^{3}$$

2.-¿Cuál es el volumen del siguiente prisma?

 

Es un prisma hexagonal, por lo tanto para calcular el área de la base utilizaremos la fórmula para polígonos regulares, pero antes: al tener 6 lados de longitud 4cm, su perimetro es $P=6(4cm)=24cm$.

De la figura se observa que el apotema mide 3.4cm por lo tanto:

 $$A_{b}=\frac{P\times a}{2}=\frac{(24cm)(3.4cm)}{2}\frac{81.6cm^{2}}{2}=40.8cm^{2}$$

De aquí:

$$V=A_{b}h=(40.8cm^{2})(16cm)=652.8cm^{3}$$

3.- ¿Cuál es el volumen y la superficie total del siguiente cilindro con dos tapas?

Para encontrar el volumen primero se calcula el área de la base, utilizamos la fórmula del área del círculo, con $r=4$:

$$A_{b}=\pi (4)^{2}=16\pi cm^{2}$$

Vamos a dejarla en función de $\pi$ para no trabajar con decimales. Ahora si encontramos el volumen, sabiendo que la altura es $8cm:

$$V=(16\pi cm^{2})(8cm)=128\pi cm^{2}$$

Ahora vamos a encontrar la superficie total, ya conocemos el área de las tapas, es $16\pi cm^{2}$

Para el área de la cara lateral, basta notar que se trata de un rectángulo de altura $8cm$ y base igual al perímetro del círculo. Primero calculamos este perímetro:

$$P=2\pi r=2\pi (4cm)= 8\pi cm$$

Con esto el área del rectángulo que forma la cara lateral curva es $(8\pi cm)(8cm)=64\pi cm^{2}$

El área total es: $16\pi cm^{2}+16\pi cm^{2}+64\pi cm^{2}=96\pi cm^{3}$