Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 8 de septiembre.

 ¿QUÉ SUCEDE AQUÍ?

APRENDIZAJE ESPERADO

Verifica algebraicamente la equivalencia de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones.

La forma general de una sucesión numérica es una expresión algebraica que genera todos sus términos, cuando la variable, regularmente $n$, toma los valores desde 1 hasta la cantidad que queramos. Hay que recordar que el valor de $n$ es el de la posición del término que se busca. Si queremos el segundo, $n=2$, si necesitamos el sexto, $n=6$ y así sucesivamente. En esta ocasión nos vamos a enfocar a las expresiones algebraicas. Para esto resolveremos los siguientes ejercicios

1. La expresión algebraica $-5n$, genera la sucesión: -5, -10, -15, -20, ... Esto se puede ver haciendo que $n$ tome los valores correspondientes:

$$-5(1)=-5$$

$$-5(2)=-10$$

$$-5(3)=-15$$

$$-5(4)=-20$$

Además de encontrar los términos también podemos preguntarnos ¿cuál de las siguientes expresiones son equivalentes a $-5n$

$$-n-n-n-n-n$$

Aquí estamos sumando cinco veces $-n$, esto da $-5n$ por lo tanto es equivalente.

$$5(-n)$$

En esta 5 multiplica a $-n$ y da $-5n$, también es equivalente.

$$5n-n$$

Si a $5n$ le quitamos $n$, obtenemos $4n$, por lo tanto no es equivalente.

$$-n-4n$$

Si operamos algebraicamente vemos que esta operación da $-5n$, entonces si es equivalente.

2.- La expresión algebraica $-2-0.2n$ genera la sucesión, -2.2, -2.4, -2.6, -2.8, ... ¿Cuál de las siguiente expresiones son equivalentes a ella?

$$-2-\frac{n}{5}$$

Si observamos que $\frac{n}{5}=\frac{1}{5}n=0.2n$, entonces $-2-\frac{n}{5}=-2-0.2n$. Sí es equivalente.

$$0.1n+0.1n-2$$

Al sumar $0.1n+0.1n=0.2n$ es positivo y en la sucesión inicial aparece negativo, por lo tanto no es equivalente.

$$2(-1-0.1n)$$

Basta multiplicar algebraicamente $2(-1-0.1n)=-2-0.2n$ para ver que sí es equivalente.

$$-0.1n-1-0.1n-1$$

Una simplificación algebraica $-0.1n-1-0.1n-1=-2-0.2n$ nos permite darnos cuenta que si es equivalente.

3.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\frac{5n}{2}+1$?

$$\frac{1}{2}(5n+1)$$

Si multiplicamos $\frac{1}{2}(5n+1)=\frac{5n}{2}+\frac{1}{2}$, por lo tanto no es equivalente.

$$\frac{1}{2}(5n+2)$$

Nuevamente multiplicamos $\frac{1}{2}(5n+2)=\frac{5n}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5n}{2}+1$ para ver que sí es equivalente.

$$5( \frac{n}{2})+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

Operando algebraicamente $5( \frac{n}{2})+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5n}{2}+1$ vemos que es equivalente.

$$ \frac{1}{2}+5n+1$$

Hacemos las operaciones $ \frac{1}{2}+5n+1=5n+\frac{3}{2}$ y nos damos cuenta que no son equivalentes.

4.- La sucesión aritmética $( a_{i})$ está definida por la siguiente formula:

$$a_{i}=4+3(i-1)$$

¿Cuál es el valor de $a_{20}$, es decir, el vigésimo término de la sucesión?

Basta sustituir el valor de $i$ por 20.

$$a_{20}=4+3(20-1)=4+3(19)=4+57=61$$

5.- La sucesión aritmética $( a_{i})$ está definida por la siguiente formula:

$$ a_{1}=7$$

$$a_{i}=a_{i-1}-2$$

¿Cuál es el valor de $a_{5}$, es decir, del quinto término de la sucesión?

Sustituimos el valor de $i$ por 5 en la fórmula:

$$a_{5}=a_{5-1}-2=a_{4}-2$$

Nos queda en función de $a_{4}$ y este va a estar en función de los anteriores, por lo tanto vamos a encontrar los primeros:

$$a_{2}=a_{2-1}-2=a_{1}-2=-7-2=-9$$

$$a_{3}=a_{3-1}-2=a_{2}-2=-9-2=-11$$

$$a_{4}=a_{4-1}-2=a_{3}-2=-11-2=-13$$

Ahora si podemos encontrar  $a_{5}$

$$a_{5}=a_{4}-2=-13-12=-15$$

6.- Para la sucesión con la siguiente fórmula, encuentra el cuarto término.

$$b(1)=-7$$

$$b(n)=b(n-1)+12$$

Como cada término está en función del anterior, vamos a comenzar encontrando los primeros, ya conocemos el $b(1)$.

$$b(2)=b(2-1)+12=b(1)+12=-7+12=5$$

$$b(3)=b(3-1)+12=b(2)+12=5+12=17$$

$$b(4)=b(4-1)+12=b(3)+12=17+12=29$$