Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 7 de septiembre.

 TODO EN PROPORCIÓN

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.

Vamos a trabajar con tres tipos de proporcionalidad, las primeras  se refieren a un tipo de relación entre dos variables.

I. Proporción directa e inversa

Comenzamos con  la proporcionalidad directa y tiene las siguientes características:

1. Las variables crecen o disminuyen en la misma proporción. Si una de ellas se triplica la otra cambia igual y si una de ellas se reduce a la mitad, la otra también.
2. Las dos variables son cero al mismo tiempo, es decir, si una de ellas es cero, la otra también.
3. Al dividir una entre la otra siempre obtenemos la misma cantidad.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$y=kx$$

$$x=ky$$  

$$\frac{y}{x}=k$$

$$\frac{x}{y}=k$$

La segunda es la proporcionalidad inversa, con las características:

1. Si una variable crece, la otra disminuye en la misma proporción o viceversa. Si una de ellas se duplica la otra se divide entre dos. Si una de ellas se reduce a la cuarta parte, la otra se multiplica por cuatro.
2. Ninguna de ellas puede ser cero.
3. Al multiplicar cada par de variables correspondientes siempre se obiene lo mismo.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$xy=k$$

$$y=\frac{k}{x}$$

$$x=\frac{k}{y}$$

Como ejercicio planteamos dos retos:

1.- Identifica que tipo de proporción representa cada una de las siguientes tablas:

 

Esta es una proporción inversa, una forma fácil de identificarla es observar que al multiplicar cada par de variables correspondientes, siempre se obtiene 60:

$$(2)(30)=60$$

$$(3)(20)=60$$

$$(4)(15)=60$$

$$(5)(12)=60$$

Esta no es ninguna de las dos, no puede ser proporción directa porque cuando la $x$ es cero, la $y$ no lo es. Y no puede ser inversa porque en esta proporción está prohibido que cualquiera de las variables sea cero.
 

Esta es una proporción directa, basta ver que al dividir cada valor de $y$ entre su correspondiente $x$ siempre se obtiene 6.

$$\frac{12}{2}=6$$

$$\frac{18}{3}=6$$

$$\frac{36}{6}=6$$

$$\frac{54}{9}=6$$

 2.- Identifica que tipo de proporción representa cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

$$x=\frac{3}{2y}$$

Observando las expresiones presentadas para cada tipo de proporcionalidad podemos ver que es una proporción inversa. Si no queda claro tenemos la opción de pasar la $y$ del lado derecho al izquierdo, como está dividiendo pasa multiplicando: 

$$xy=\frac{3}{2}$$

De donde podemos ver que al multiplicar la $x$ por la $y$ siempre obtenemos tres medios, por lo cual la proporción es inversa.

$$\frac{y}{x}=7$$

Esta es una proporción lineal, ya que al dividir la $y$ entre la $x$ siempre obtenemos 7. 

$$y=2x-2$$

Esta no es directa ni inversa, pues si $x=1$

$$y=2(1)-2=2-2=0$$

En las directas, ambas tendrían que ser cero y en las inversas, ninguna. 

II. Reparto proporcional

Aquí no se trata de relacionar dos variables, sino de distribuir una cantidad en partes proporcionales a cierta condición. Vamos a poner un ejemplo:

1.- Un grupo de amigos se reunen para pintar una barda. Si Jimena trabajó 4 horas, Susana 2 y Luís una. ¿Cuánto le toca a cada uno si en total les pagaron $420?

Aquí el reparto va a ser de acuerdo a las horas trabajadas. Una forma de resolverlo es encontrando el valor unitario, que en este caso es el pago por cada horade trabajo. Si sumamos los tiempos de cada uno obtenemos 7 horas y al dividir 420 entre 7 obtenemos 60, esto quiere decir que por cada hora trabajada se pagan $60. Por lo tanto: 

Si Jimena trabajó 4 horas, le tocan $240.

Si Susana trabajó 2 horas, le tocan $120.

Y a Luís que trabajo una hora, le tocan $60.

El valor unitario se puede conseguir dividiendo la cantidad a repartir entre la suma de los atributos necesarios para conseguirla. Esto se muestra en el siguiente ejercicio:

2.- Cuatro amigos ganan en una rifa $8400. Si para comprar el boleto cooperaron como se muestra:

Luís: $25.

Arturo: $30.

Carla: $45.

María: $20.

Si realizan un reparto proporcional, ¿cuánto le toca a cada uno? 

Para resolverlo encontramos el valor unitario, según dijimos este se encuentra dividiendo la cantidad a repartir entre la suma de los atributos necesarios para conseguirla, por lo tanto:

$$\frac{8400}{25+30+45+20}=\frac{8400}{120}=70$$

Esto quiere decir que por cada peso que cooperaron les tocan $70. Por lo tanto: 

A Luís le tocan: (25)(70)=1750 pesos.

A Arturo: (30)(70)= 2100 pesos.

A Carla: (45)(70)=3150 pesos.

A María: (20)(70)=1400 pesos.