Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 10 de septiembre.

 HISTOGRAMAS, POLÍGONOS DE FRECUENCIA Y GRÁFICA DE LÍNEA

PRENDIZAJE ESPERADO

Recolecta, registra y lee datos en histogramas, polígonos de frecuencia y gráficas de línea.

La estadística se encarga de recolectar, organizar e interpretar datos para obtener, a partir de ellos, inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. entre sus herramientas se encuentran la tabla de frecuencia y distintos tipos de gráficos. para comenzar vamos a estudiar el histograma.

El histograma es un tipo de gráfica estadística que se utiliza para comunicar información sobre las distribuciones de la frecuencia cuando se trata de datos continuos como tiempo, peso, tamaño, temperatura, etc. Se forma por dos ejes, en uno se mide la frecuencia absoluta o relativa de los datos y en el otro se colocan los intervalos o clases en los que se agrupan. Para tener más claro el concepto, vamos a analizar la siguiente situación.

1.- En una telesecundaria se van a seleccionar alumnos para una competencia deportiva, así que se hizo la medición de la estatura de 30 estudiantes, los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Para analizar los datos primero los ordenamos de menor a mayor o viceversa.

Para crear el histograma debemos tener presentes cuatro conceptos fundamentales:

Rango: Es la diferencia entre dato mayor y el menor. Para este ejemplo el mayor es $1,85$ y el menor, $1.40$, por lo tanto:

$$Rango=1.85-1.40=0.45$$

Número de intervalos: Es la cantidad de clases que vamos a construir para organizar los datos. Existen fórmulas encontrar este valor de tal forma que el análisis sea efectivo, pero a este nivel, nosotros decidiremos cuántas clase o será un número determinado de antemano. Para este ejemplo se tomarán 5 intervalos.

Amplitud: Es la magnitud de los clases, para encontrarla se divide el rango entre el número de intervalos.

$$Amplitud=\frac{0.45}{5}=0.9$$

 Frecuencia: es el número de datos en cada intervalo.

Para construir los intervalos tomamos el dato menor como límite inferior del primer intervalo, a este le sumamos la amplitud para obtener el límite superior, con esto obtenemos la clase $1.40-1.49$, como la amplitud es del orden de decimales, a este límite superior le sumamos un decimal para obtener el límite inferior del segundo intervalo, a este valor se le suma la amplitud para obtener el límite superior del segundo y así sucesivamente. Con esto se obtienen las siguientes clases:

En estos intervalos vamos a acomodar los resultados de la encuesta. Al número de elementos en cada clase se le llama frecuencia. Si observamo en los resultados ordenados, vemos que únicamente hay dos datos que se encuentran en la primera clase, el $1.40$ y el $1.49$. procediendo de la misma manera, la tabla nos queda:

Si se suman las frecuencias obtenemos el número total de estudiantes encuestados. Esta tabla de frecuencia es el principal apoyo para construir el histograma.

Sabemo que es forma con dos ejes, en el vertical están las frecuencias y en el horizontal, las clases:

Los datos se organizan en rectángulos, donde las bases son los intervalos y las alturas, las frecuencias. Por lo tanto para este caso:

Analizando el histograma podemos observar que la mayor distribución de estaturas está entre los valores $1.60$ y $1.79$. O dicho de otra manera, dos terceras partes de los estudiantes (20) tienen una estatura $1.60$ y $1.79$. Y si somos aún más precisos, la mayoria de estos alumnos está entre $1.70$ y $1.79$. Por otra parte, los dos intervalos de los extremos tienen la menor cantidad de estudiantes.  Finalmente el intervalo de $1.50$ a $1.59$ queda en tercer lugar pues el número de estudiantes que tiene es 5.

De aquí podemos concluir que la estatura de los alumnos de esta telesecundaria tiende en general a ser alta en comparación con el promedio de estatura de su comunidad que es $1.65$ metros.

Un histograma nos permite ver: Tendencias, distribuciones y comportamientos con mayor facilidad que en una tabla de frecuencias, pues la información numérica se representa gráficamente.

El histograma se puede confundir fácilmente con una gráfica de barra, sin embargo, existe una diferencia clara:

En el histograma los datos del eje horizontal son cuantitativos continuos, es decir intervalos numéricos con límites definidos.

La grafica de barras, puede tener en el eje horizontal, datos cualitativos (colores, meses, aficiones, etc) o datos cuantitativos discretos (número de hijos, , edades, etc.).

Por ejemplo en la siguiente gráfica, el eje horizontal se presenta el número de  hijos y en el vertical la cantidad de parejas. Al ser la variable del eje horizontal, cuantitativa discreta, se trata de una gráfica de barra.

 

Lo mismo hubiera pasado si en el eje horizontal estuvieran colores, o cualquier dato cualitativo.

Otra forma de organizar los datos es mediante el polígono de frecuencia, este nos permite observar de manera directa cómo están distribuidas las frecuencias de los datos que se quieren analizar.

El polígono de frecuencia se construye a partir de un histograma. Hay que recordar que todo polígono esta compuesto por segmentos de recta y para determinar este segemento se necesitan al menos dos puntos. De ahí la necesidad de encontrar esos puntos dentro del histograma que sirvan de base para el trazo del polígono. Estos puntos se conocen como marcas de clase y son los puntos que se encuentra justo a la mitad de cada intervalo, para encontrarlos, simplemente se promedian los límites de cada clase. Como ejemplo, si los límites del intervalo son $3 - 11$, la marca de clase es:

$$\frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7$$

2.- Trazar el polígono de frecuencias para una encuesta que se llevó a cabo entre algunos habitantes de una ciudad con el fin de saber cuánto tiempo invertían para llegar a su trabajo.

Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Las marcas de clase ya están calculadas, para corroborar, vamos a encontrar la del tercer intervalo:

$$\frac{67+77}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Con estos se construye el histograma:

En este se señalan las marcas de clase, con un punto en la mitad de la base superior de cada rectángulo:

El polígono de frecuencia se obtiene uniendo con segementos rectos las marcas de clase:

Para cerrar el polígono unimos con un segmento la primer marca de clase con el límite inferior de su clase y última con el límite superior:

 

El polígono de frecuencia nos permite visualizar con mayor facilidad la información. 

A partir del polígono de frecuencias, vamos a contestar las siguientes preguntas:

¿Cuánta gente tarda entre 78 y 99 minutos? Básicamente lo que nos preguntan es cuál es la suma de las frecuencias del cuarto y quinto intervalo. La respuesta es: $25+30=55$

¿Cuántos habitantes utilizan ebtre 89 y 110 minutos? Ahora sumamos las frecuencias del quinte y sexto intervalo: $30+5=35$.

¿A cuántas personas se les entrevistó? Ahora sumamos la frecuencia de todas las clases: $4+10+16+25+30+5= 90$

¿Cuánta gente emplea más de 99 minutos? Es la frecuencia del último intervalo: 5

¿Cuántas personas utilizan menos de 67 minutos? Se suman las frecuencias de los dos primeros intervalos: $4+10=14$. 

3.- La edades de todos los comensales de un restauran son: 1, 3, 27, 32, 5, 63, 26, 25, 18, 16, 4, 43, 29, 19, 22, 51, 58, 9, 42 y 6. Elaborar un histograma. Para realizarlo organizamos los datos por decenas, las clases serán: de cero a nueve, de diez a diecinueve, etc. En la siguiente tabla se muestra la tabla de frecuencias.

Con esta construimos el histograma:

El histograma nos muestra que el grupo de edad con mayor integrantes es el de los niños. Tambien se ve que nucha gente entre los 20 y 39 años, tal vez los padres de familia o tutores de los niños y adolescentes.