Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 14 de septiembre.

 CONOCIENDO LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

APRENDIZAJE ESPERADO

 Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado

ÉNFASIS

Justificar operaciones inversas.

Una ecuación de segundo grado, llamada también cuadrática, es una igualdad donde el máximo exponente de la incógnita es 2. Su forma general es:

Consta de tres términos:

Un primer paso para resolver este tipo de ecuaciones encontrar los valores de las constantes $a$, $b$ y $c$. $a$ es el coeficiente del término cuadrático, $b$ el del término líneal y $c$ es el término independiente.

En la ecuación:

$$3x^{2}-11x-8=0$$

$$a=3$$

$$b=-11$$

$$c=-8$$

Hay que recordar que para que los valores de las constantes sean correctos todos los términos deben estar al mismo lado de la ecuación. El signo igual divide a la ecuación en dos partes iguales.

En la siguiente ecuación:

Todos los términos están al lado izquierdo, por lo tanto: $a=-8$, $b=7$ y $c=6$. En esta otra:

Todos los términos están al lado derecho, por lo cual: $a=11$, $b=3$ y $c=-2$.

Un caso diferente se presenta a continuación:

En esta hay términos a ambos lados de la ecuación, encontrar los valores de las constantes nos llevaría a un error. Para hacerlo hay que pasar todos a un mismo lado, cuando un término cambia de lado (de izquierda a derecha o viceversa), cambia de signo. Si pasamos el término cuadrático y el independiente al lado izquierdo nos queda:

Ya que todos los términos están al mismo lado: $a=2$, $b=-9$ y $c=-2$.

Ahora que ya sabemos qué son las ecuaciones cuadráticas vamos a identificarlas. De las siguientes ecuaciones ¿cuáles son cuadráticas?

$$16x^{2}=8x^{3}+2x$$

$$10x+13=2x-8$$

$$24x-12=5x^{2}$$

De estas tres, únicamente la última es cuadrática, la primera no es porque su máximo exponente es 3 y en la segunda no hay exponente 2. 

Aunque una ecuación cuadrática tres términos diferenciados, pueden presentarse casos en los que únicamente haya dos. En es sesión analizaremos casos en los que no hay término líneal, es decir, ecuaciones cuadráticas de la forma:

$$ax^{2}+c=0$$

Este tipo de ecuaciones solo tienen soluciones reales si $a$ y $c$ tienen signos diferentes. hay que recordar que estos valores se determinan cuando están al mismo lado de la ecuación.

$$2x^{2}+8=0$$

No tiene solución real, ya que $a=2$ y $c=8$  tienen el mismo signo.

$$-5x^{2}+45=0$$

Si tiene soluciones reales por que $a=-5$ y $c=45$  tienen signos diferentes.

$$x^{2}=-16$$

En esta última podemos estar tentados a afirmar que $a$ y $c$ tienen signo diferentes lo cual es falso ya que se encuentran a diferente lado de la ecuación, pasando todo a la izquierda:

$$x^{2}+16=0$$

Vemos que $a$ y $c$ tienen el mismo signo.

Esta cuadrática sin término lineal, se resuelve despejando la incógnita mediante la aplicación de operaciones inversas, que se presentan a continuación:

 

Como ejemplo vamos a resolver algunos ejercicios.

1.- Resolver la ecuación: $-3x^{2}-27=0$

No tiene solución ya que $a=-3$ y $b=-27$ tienen el mismo signo.

2.- Encontrar el valor de $x$ para que la igualdad $2x^{2}+2=34$ se cumpla.

Si pasamos $34$ del lado derecho al izquierdo, para poder ver los valores de las constantes:

$$2x^{2}+2-34=0$$

Para obtener:

$$2x^{2}-32=0$$

$a=2$ y $c=-32$ tienen distinto signo, si existe solución real. Resolver la ecuación significa dejar sola a la $x$ en cualquiera de los lados, para hacerlo debemos quitar la $a$, la $c$ y la potencia pasándolas al lado contrario. Para esto observamos la operación que realizan y las pasamos con la operación inversa, como se mustra en la tabla anterior. Si algo está sumando, pasa restando, si está multiplicando, pasa dividiendo, etc. En estas ecuaciones primero quitamos $c$ que va a estar sumando o restando, después la $a$ que al estar multiplicando va pasar dividiendo y al final el cuadrado, que al ser potencia pasa como raíz. Comenzamos, el $32$ está restando, pasa sumando:

$$2x^{2}=32$$

Ahora el  $2$ que está multiplicando pasa dividiendo:

$$x^{2}=\frac{32}{2}=16$$

Por último, quitamos el 2 del cuadrado, que pasa como raíz cuadrada:

$$x=\sqrt{16}=4$$

La raiz cuadrada tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. En este caso $-4$ tambien es solución. Cuando sean problemas geométricos, nos quedaremos solo con la positiva.

Para no estar pasando todos los términos al mismo lado, aplicamos las operaciones inversas y si nos queda una raíz cuadrada de un número negativo no habrá solución real.

3.- El profesor Eduardo propuso a sus alumnos resolver en equipo la siguiente situación: ¿Qué número al cuadrado sumado con 12 es igual a 37?

Como no conocemos al número, le llamamos $x$, por lo tanto tenemos la siguiente ecuación:

$$x^{2}+12=37$$

El $12$ que está sumando, pasa restado.

$$x^{2}=37-12=25$$

Para dejar sola a la $x$ nomas nos estorba el 2 del cuadrado y ya sabemos que pasa como raíz cuadrada.

$$x=\sqrt{25}=5$$

$-5$ tambien es solución.

4.- Don Antonio tiene un terreno con forma de cuadrado que utiliza para cultivar frijol. ¿Cómo se puede determinar la medida de los lados del terreno, si este tiene un área de 100 metros cuadrados?

El área de un cuadrado se encuentra elevando la longitud de su lado al cuadrado, como no conocemos esa longitud, le llamamos $x$ y obtenemos la ecuación:

$$x^{2}=100$$

Nomás nos estorba el 2 del cuadrado:

$$x=\sqrt{100}=10$$ 

Cómo es un problema geométrico, solo tomamos la solución positiva.

Gran parte del trabajo en cuadráticas será encontrar la ecuación que modela la situación planteada. Como ejemplo descifraremos un pequeño truco de magia.

5.- Piensa un número, enseguida multiplica el número que pensaste por 4, al resultado réstale 3, multiplica el resultado por 2 y súmale 6. Por último divide el resultdo entre el número que pensaste.

Si sigues los pasos verás que siempre obtienes 8. ¿por qué? Para desentrañar el misterio vamos a hacerlo algebraicamente. Al número que pensamos le llamamos $x$, lo multiplicamos por $4$ y le restamos $3$

$$4x-3$$

Este resultado se multiplica por 2:

$$2\left ( 4x-3 \right )=8x-6$$

A esto le sumamos 6

$$8x-6+6=8x$$

Por último dividimos entre el número que pensamos$x$

$$\frac{8x}{x}=8$$

De aquí vemos que sin importar que número pensemos, el resultado siempre será 8.