Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 10 de septiembre.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

A nivel secundaria, el álgebra es la parte de la matemática que permite trabajar con incógnitas, para hacerlos utiliza ecuaciones.

Una ecuación es una igualdad que relaciona datos conocidos y desconocidos mediante números, letras (literales) y operaciones aritméticas.

Por ejemplo, si sabemos que siete más otro número desconocido es igual a 20, lo podemos escribir:

$$7+\left [  \right ]=20$$

O utilizando una letra, regularmente la $x$.

$$7+x=20$$

Con un simple cálculo mental, es facil adivinar cuál es el número que se la suma a 7 para obtener 20 y por esta razón se puede pensar que la ecuación está de más. Sin embargo, el manejo de estas situaciones sencillas nos preparan para resolver casos más complicados. Para comenzar vamos a presentar algunos casos simples, no los vamos a resolver, solamente los representaremos mediante ecuaciones.

1.-Bety fue a la panadería, compro cuatro conchas y un pastel de pasas que le costó $\$25$, si pagó $\$57$ en total, ¿cuál es el precio de una concha? ¿De qué modo se puede representar esta situación?

Como no conocemos el precio de la concha, le llamaremos $x$, son 4 conchas, por lo tanto para obtener el costo de todas, multiplicamos $x$ por 4. Al multiplicar numeros con letras, siempre se escribe primero el número:

$$(4)(x)=4x$$

$$(x)(4)=4x$$

Al número se le llama coeficiente y cuando su valor es uno no se escribe. 

Tambien podemos sumar 4 veces el precio de una concha:

$$x+x+x+x$$

Al sumar la misma literal, esta no cambia, solo se suman los coeficientes. Como ya mencionamos, si no aparece el coeficiente es porque su valor es uno, por lo tanto:

$$x+x+x+x=4x$$

De cualquier forma el precio de las conchas es $4x$. Las cuatro conchas y el pastel de pasas costaron $\$57$, esto se puede representar:

$$4x+25=57$$

Los términos con la misma literal se llaman términos semejantes y se suman o restan realizando la operación con los coeficientes, la letra queda igual. Ejemplo:

$$7a+8a=15a$$ 

$$20r-6r=14r$$

2.- Karen pagó $\$360$  por dos libros, el de pasta dura le costó tres veces lo que el libro de pasta normal. ¿Cuánto costó cada libro? ¿De qué manera se puede representar esto? Vamos definir las incógnitas:

Costo del libro con pasta normal: $x$

Costo del libro con pasta dura: $3x$, tres veces el costo del otro libro.

Costo total: $x+3x$

Sabemos que el costo total fue $\$360$, por lo tanto podemos representar esta situación de la siguiente manera:

$$x+3x=360$$

3.- Itzel tenía 5 cartones iguales con huevos, cuando intentaba transportarlos se le cayeron 8 al piso y se rempieron, al final le quedaron 52, ¿cuántos huevos tenía cada cartón? ¿De qué modo se puede representar esta situación?

No sabemos cuántos huevos tiene cada cartón, esa es la incógnita, le llamaremos $y$, como tenía 5 cartones, se multiplica la cantidad de huevos en cada cartón por 5, en total había $5y$. A esto le restamos los que se quebraron, ocho, para obtener 52. Entonces la representación es:

$$5y-8=52$$ 

Hasta el momento solo hemos representado las situaciones, ahora vamos a resolver las ecuaciones. Resolver la ecuación significa encontrar el valor de la incógnita.

Pero antes  haremos una observaciones. En una ecuación, el signo de igualdad (=) divide a la ecuación en dos partes que llamaremos: izquierdo y derecho.

En la siguiente ecuación:

$5x-9$ esta al lado izquierdo y $16$ al derecho.

Resolver la ecuación implica hacer movimientos para que la incógnita quede sola en cualquiera de los dos lados, para esto utilizamos la operaciones inversas.

Para despejar la incógnita (dejarla sola a un lado de la ecuación) los elementos que estorban se pasan al otro lado pero realizando la operación  inversa. Para saber si un término está sumando o restando, basta ver el signo de su coeficiente, si es positivo (este es el caso incluso cuando no hay signo) está sumando y si es negativo, restando. 

En la ecuación:

$$5x-9=16$$

Para que la $x$ quede sola al lado izquierdo de la ecuación, nos estorba el $9$ y el $5$, primero quitamos el nueve, los coeficientes (que están multiplicando) se dejan para el final. El nueve está restando por lo tanto se pasa al lado derecho sumando.

$$5x=16+9$$

Se hace la operación y queda:

$$5x=25$$

Ahora nos estorba el 5 (coeficiente) y como está multiplicando pasa al otro lado con su operación inversa: dividiendo.

$$x=\frac{25}{5}=5$$

La ecuación queda resuelta, la incógnita es 5, cinco veces 5 menos 9 es igual a 16. Podemos verificar sustituyendo:

$$5(5)-9=25-9=16$$

4.- resolver la ecuación $3x+12= 30$.

Primero pasamos el doce del lado izquierdo al derecho, como está sumansopasa restando:

$$3x=30-12$$

Para obtener:

$$3x=18$$

Ahora el tres que está multiplicando, pasa dividiendo:

$$x=\frac{18}{3}=6$$

Para verificar:

$$3(6)+12=18+12=30$$

En una ecuación la incógnita puede estar a ambos lados, en este caso, lo primero que hacemos es  utilizar operaciones inversas para reacomodar la ecuación de tal forma que en un lado estén todos los términos con letra y en el otro los que no tienen, Ejemplo:

5.- Resolver la ecuación: $18k+30=10k+46$.

La incógnita $k$ está a ambos lados de la ecuación. Vamos a pasar al lado izquierdo todos los términos con $k$ y a la derecha los que no tienen letra. El $18k$ no va a cambiar de lado por lo tanto se queda igual, el $10k$ pasa del lado derecho al izquierdo, como inicialmente está sumando (su coeficiente 10 es positivo) pasa restando. El $30$ que está sumando en el lado izquierdo pasa restando al derecho.

$$18k-10k=46-30$$

Simplificamos:

$$8k=16$$

Por último, el coeficiente ocho, que está multiplicando, se pasa dividiendo:

$$k=\frac{16}{8}=2$$

Las ecuaciones también pueden incluir signos de agrupacióno paréntesis, si es el caso, estos se suprimen multiplicando por el número que esta inmediatamente a su izquiera (sin signo de por medio). Vamos a ver un ejemplo de este tipo:

6.- El señor Javier tiene 37 años y su hijo Alex tiene 9 años, un día el señor Javier le dice a su hijo: "cuando tenga el triple de tu edad, te regalaré un viaje de cumpleaños". ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que la edad del señor Javier sea el triple de la de su hijo?

La incógnita es el número de años que tienen que transcurrir, vamos a llamarle $t$.

Edad actual del señor Javier: 37

Edad actual de Alex: 9

Edad del señor Javier dentro de $t$ años: $37+t$

Edad de Alex dentro de $t$ años: $9+t$

Transcurrido ese tiempo la edad del papá será el triple de la del hijo, esto lo expresamos de la siguiente forma:

$$37+t=3(9+t)$$

El tres a la izquierda del paréntesis multiplica su contenido. Por lo tanto:

$$37+t=27+3t$$

Para evitar coeficientes negativos, vamos a pasar las literales al lado donde está la de mayor exponente, aquí el término con mayor coeficiente es el $3t$ y está al lado derecho, por esto $t$ con coeficiente positivo, pasa a ese lado restando.

$$37-27=3t-t$$

Simplificando, 27 menos 27 es 10 y tres $t$ menos una $t$ da dos $t$:

$$10=2t$$

El 2 pasa dividiendo al lado izquierdo:

$$\frac{10}{2}=t=5$$

$t$ es igual a la mitad de 10, es decir, dentro de 5 años, el señor Javier tendra la edad de su hijo.