Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secunadria, 11 de septiembre

SUCESIONES CON PROGRESIÓN ARITMÉTICA

APRENDIZAJE ESPERADO

Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de las sucesión que representan.

Una sucesión de números es progresión aritmética si cada elemento de ella se obtiene sumando la misma cantidad al término anterior.

La siguiente sucesión:

$$3, 7, 11, 15,...$$

Es una progresión aritmética porque cada término se obtiene sumando cuatro al anterior.

Tambien hay sucesiones de figuras, y se pueden analizar numéricamente, por ejemplo la siguiente:

Cada figura se forma con seis de la que está antes. Si nos enfocamos en el número de hexágonos, vemos que en la primer figura hay uno, en la segunda hay seis, en la tercera 36 yen la cuarta 216, para encontrar ese número se multiplica el número de hexágonos de la figura previa por 6. La sucesión númerica: 1, 6, 36, 216, no es aritmética.

La forma general de una sucesión numérica es una expresión algebraica que genera todos sus términos, cuando la variable, regularmente $n$, toma los valores desde 1 hasta la cantidad que queramos. Hay que recordar que el valor de $n$ es el de la posición del término que se busca. Si queremos el segundo, $n=2$, si necesitamos el sexto, $n=6$ y así sucesivamente. 

Para una progresión aritmética, la forma general  tiene la forma: $an+b$. Para encontrar cada término,$a$ multiplica a la posición y posteriormente se suma o se resta $b$ (ya que $b$ puede ser negativa o incluso cero). Para ver como funciona esto, vamos a resolver algunos ejercicios:

1.- Encontrar el primero, cuarto, séptimo y décimo de la siguente sucesión: $6n-2$

El número de la posición se multiplica por 6 y al resultado se le resta 2. 

Para el primero, $n=1$

$$6(1)-2=6-2=4$$

Para el cuarto, $n=4$

$$6(4)-2=24-2=22$$

Para el séptimo, $n=7$

$$6(7)-2=42-2=40$$

Para el décimo, $n=10$

$$6(10)-2=60-2=58$$

Otro tipo de ejercicios en sucesiones es, encontrar la forma general a partir de los primeros términos, para ilustar cómo se hace, vamos resolver el siguiente ejemplo.

2.- ¿Cuál es la forma general de la siguiente sucesión numérica?

$$8, 11, 14, 17,...$$

Lo primero que hacemos es determinar si es una progresión aritmética. Si nos fijamos, cada término se obtiene sumando 3 al anterior. Si al ocho le sumamos tres tenemos once, once más tres son catorce y así sucesivamente. Por lo tanto si es una progresión aritmética.

Recordemos que la forma general tiene la forma: $an+b$. $a$ es la cantidad que se va sumando, en este caso $3$, por lo tanto $a=3$ y una parte de la forma general es $3n$, ahora nos preguntamos ¿qué le hacemos a $a$ (que tiene un valor de $3$) para llegar al primer término de la progresión (que es $8$)? La respuesta es: le sumamos $5$ por lo tanto, la forma general es: $3n+5$.

3.- Un maestro da la siguiente instrucción a un alumno como preparación para el maratón: Correr todos los días durante 20 días. El primer día correr 15 minutos y cada día correr 5 minutos más que el anterior. ¿Cuántos minutos correrá el alumno el día 20?

Los minutos por día forman una progresión aritmética: $15, 20, 25, 30,...$. Los minutos de cada día se obtienen sumando $5$ a los del día anterior. Por lo tanto su forma genera es $an+b$ y $a=5$ (la cantidad que se va sumando). Ahora nos preguntamos ¿qué le hacemos a $5$ (el valor de $a$) para llegar al primer término (que es $15$)? Le sumamos $10$, por lo tanto la forma general es: $5n+10$.

Para el vigésimo día, $n=20$, por lo cual se multiplica $5$ por $20$ y al resultado se le suma $10$

$$5(20)+10=100+10=110$$

4.- ¿Cuál es la forma general de la sucesión: $7, 13, 19, 25,...$?

Es una progresión aritmética y la cantidad que se va sumando es $6$, por lo tanto $a=6$, ya tenemos la primera parte: $6n$. Ahora nos preguntamos ¿qué le hacemos a $6$ para llegar al primer término (que es $7$)? le sumamos uno, por lo tanto la forma general es:

$$6n+1$$

5.- ¿Cuál es la forma general de la sucesión: $11, 29, 47, 65,...$? 

Es aritmética y se va sumando $18$, $11+18=29$, $29+18=47$, etc. Por lo tanto $a=18$ y nos preguntamos ¿qué le hacemos a $18$ (el valor de $a$) para obtener $11$ (el primer término)? Le restamos $7$. Por lo tanto la forma genera es:

$$18n-7$$

6.- ¿Cuál es la expesión algebraica quie nos da el número de bloques para cada figura de la siguiente sucesión?

Podemos hacer una sucesión que contenga los números de bloque de cada figura: $1, 5, 9, 13,..$

Observamos que es una progresión aritmética y la cantidad que se va sumando es $4$ (este es el valor de $a$), por lo tanto la forma general sera $4n$ más o menos algo. ¿Qué le hacemos a $4$ para llegar a $1$ ( primer término)? Le restamos $3$, por lo tanto la forma general será:

$$4n-3$$