Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 15 de septiembre.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA $ax^{2}+c=0$ CON OPERACIONES INVERSAS

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.

ÉNFASIS

Resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado a través de procedimientos informales.

Vimos en la sesión anterior que resolver una ecuación cuadrática de la forma $ax^{2}+c=0$, es facil utilizando operaciones inversas. Tal vez lo que más se complique en el proceso sea la extracción de la raíz cuadrada. Algo que facilita trabajar con ellas es conocer los cuadrados perfecto.

Un número es cuadrado perfecto si es el resultado de multiplicar un entero por sí mismo y su principal característica es que  tienen raíz cuadrada exacta (sin decimales) e  igual al número que se multiplicó y su inverso aditivo (el número multiplicado por menos uno). Conviene aprenderse los cuadrados perfectos hasta el 15.

$\left ( 1 \right )\left (  1\right )=1$ por lo tanto $\sqrt{1}=1$ y $\sqrt{1}=-1$

$\left ( 2 \right )\left (  2\right )=4$, por lo tanto $\sqrt{4}=2$ y $\sqrt{4}=-2$

$\left ( 3 \right )\left (  3\right )=9$, por lo tanto $\sqrt{9}=3$ y $\sqrt{9}=-3$

$\left ( 4 \right )\left (  4\right )=16$ por lo tanto $\sqrt{16}=4$ y $\sqrt{16}=-4$

$\left ( 5 \right )\left (  5\right )=25$, por lo tanto $\sqrt{25}=25$ y $\sqrt{25}=-5$

$\left ( 6 \right )\left (  6\right )=36$, por lo tanto $\sqrt{36}=6$ y $\sqrt{36}=-6$

$\left ( 7 \right )\left (  7\right )=49$ por lo tanto $\sqrt{49}=7$ y $\sqrt{49}=-7$

$\left ( 8 \right )\left (  8\right )=64$, por lo tanto $\sqrt{64}=8$ y $\sqrt{64}=-8$

$\left ( 9 \right )\left (  9\right )=81$, por lo tanto $\sqrt{81}=9$ y $\sqrt{81}=-9$

$\left ( 10 \right )\left (  10\right )=100$ por lo tanto $\sqrt{100}=10$ y $\sqrt{100}=-10$

$\left ( 11 \right )\left (  11\right )=121$, por lo tanto $\sqrt{121}=11$ y $\sqrt{121}=-11$

$\left ( 12 \right )\left (  12\right )=144$, por lo tanto $\sqrt{144}=12$ y $\sqrt{144}=-12$

$\left ( 13 \right )\left (  13\right )=169$ por lo tanto $\sqrt{169}=13$ y $\sqrt{169}=-13$

$\left ( 14 \right )\left (  14\right )=196$, por lo tanto $\sqrt{196}=14$ y $\sqrt{196}=-14$

$\left ( 15 \right )\left (  15\right )=225$, por lo tanto $\sqrt{225}=15$ y $\sqrt{225}=-15$

Una convención importante es que si el problema es numérico se toman los dos resultados de la raíz y si es geométrico, únicamente nos quedamos con la solución negativa. Como se muestra en los siguientes ejemplos:

1.-¿Qué número multiplicado por sí mismo da como resultado 25? El número desconocido es $x$ y multiplicarlo por él mismo, es elevarlo al cuadrado. 

Esto se traduce algebraicamente como:

$$x^{2}=25$$

Como ya habiamos visto, la operación inversa de elevar al cuadrado es sacar raíz cuadrada, por lo tanto:

$$x=\sqrt{25}$$

Y observando las raices de arriba vemos que hay dos soluciones, $x=5$ y $x=-5$.

2.- Carla desea aprovechar los 90 metros de malla de alambre que posee en su almacén para cercar el terreno que tiene en el pueblo de su mamá. Si el terreno es cuadrado con un área de 400 metros cuadrado, ¿le alcanzará el material? 

La incógnita es la medida del lado del terreno, si le llamamos $x$ y sabemos que el área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado, tenemos la ecuación:

$$x^{2}=400$$

Despejando obtenemos:

$$x=\sqrt{400}$$

La raíz cuadrada de 400 no viene en la lista dada anteriormente, para encontrarla, seguimos multiplicando los número que siguen por ellos mismos (elevándolos al cuadrado), $16\times 16$, $17\times 17$, etc. Encontraremos que $20\times 20= 400$, por lo tanto:

$$x=20$$

Al ser un problema geométrico solo tomamos la solución positiva. Como el lado mide 20 metros, su perímetro es de 80 metros (4 veces la longitud del lado), por lo cual si le alcanzan los 90 metros.

3.- Genaro es 4 veces mayor que Miguel. Si el producto de sus edades es 256, ¿cuál es la edad de miguel?

Si la edad de Miguel es $x$, la edad de Genaro es $4x$ (cuatro veces la edad de Miguel), y si multiplicamos sus edades obtenemos 256. en lenguaje algebraico tenemos:

$$\left ( x \right )\left ( 4x \right )=256$$

$$4x^{2}=256$$

Despejamos la $x$, para esto pasamos el cuatro del lado izquierdo de la ecuación al derecho y como estpa multiplicando pasa dividiendo.

$$x^{2}=\frac{256}{4}=64$$

Por último, pasamos el cuadrado como raíz:

$$x=\sqrt{64}$$

Observando la lista de raices vemos que $x=8$. Es importante que aunque no es un problema geométrico, nos quedamos solo con la solución positiva, ya que no tiene mucho sentido hablar de edades negativas. Entonces Miguel tiene 8 años y genaro $4\times 8=32$ años.

4. Juan llega con su hermano y le propone un juego donde tiene que adivinar el número que tiene escrito en una tarjeta. Para ello, le va a dar las siguientes pistas:  

• Lo multiplico por él mismo
• lo multiplico por 6
• Le sumo 8
• Obtenemos como resultado 608
  

Si llamamos $x$ al número, la traducción algebraica es :

$$6x^{2}+8=608$$

Despejamos pasando el ocho al lado derecho restando, el 6 dividiendo y el cuadrado como raíz:

$$6x^{2}=608-8=600$$

$$x^{2}=\frac{600}{6}=100$$

$$x=\sqrt{100}=10$$

La solución es 10, pero tambien -10.

5.-Diego se va a mudar de casa y tiene una mesa de 16 dm de largo por 9 dm de ancho, que no cabe en su nuevo departamento. Su esposa le comenta que, si esa mesa tuviera la forma de un cuadrado, si podría colocarla en la sala. ¿cuánto se deberá disminuir el largo y aumentar el ancho para que, sin variar su superficie tenga la forma del cuadrado? ¿qué debes tomar en cuenta? ¿qué debes calcular primero?

Lo primero que calculamos es el área de la mesa original, $A=\left ( 16dm \right ) \left ( 9dm \right )=144dm^{2}$

Si la mesa fuera cuadrada cuál sería la longitud de su lado para tener la misma áreas, si su lado mide $x$:

$$x^{2}=144$$

Despejamos:

$$x=\sqrt{144}=12$$

El cuadrado debe medir 12 dm, por lo tanto el largo debe disminuir 4 dm y el ancho aumentar 3 dm.

6.- ¿Cuál es el número que elevado al cuadrado menos 4 es igual a 60?

la expresión algebraica del problema es:

$$x^{2}-4=60$$

pasamos el 4 del lado izquierdo al derecho, como está restando pasa sumando:

$$x^{2}=60+4=64$$

Por último:

$$x=\sqrt{64}=8$$

El resltado tambien puede ser -8.