Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 7 de septiembre.

 El todo es la suma de las partes

Aprendizaje esperado 

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

 

Los números enteros son los naturales (1, 2, 3 ,4, ....), sus negativos (-1, -2, -3, -4, ...) y el cero. Es más ilustrativo verlos en la recta numérica:

 

Los números negativos están asociados con  deudas, perdidas, descensos, temperaturas bajo cero o años antes de nuestra era.

Por ejemplo: Si una persona debe 300 pesos en un lado y 450 pesos en otro, la operación que hay que hacer para ver la deuda es:

$$-300+(-450)$$

Ahora vamos a ver cómo se hace esto.

Al sumar o restar números enteros, nos podemos encontrar con los siguientes casos:

$$-9-(-5)=$$

$$-3-14=$$

$$13+(-7)=$$

$$-8+10=$$

Nos ocuparemos primero de los que no tienen paréntesis. 

Si los dos números tienen el mismo signo (ambos positivos o negativos) se suman y el resultado mantiene el signo. Ejemplo:

 $$-8-9=-17$$

Como ambos (ocho y nueve) son negativos, se suman y el resultado sigue siendo negativo 

$$12+7=19$$

Como ambos (doce y siete) son positivos, se suman y el resultado sigue siendo postivo.

Si los número tienen signos diferentes (uno negativo y otro positivo) se restan y el resultado se queda con el signo del que está más lejos del cero.  Ejemplo:

$$-9+4=-5$$

 

El nueve es negativo y el cuatro positivo, por lo tanto se restan, nueve menos cuatro es cinco y el resltado es negativo porque el menos nueve está más alejado del cero, como se puede ver en la recta numérica.

$$-5+8=3$$

 

El cinco es negativo y el ocho es positivo, por cual se restan, ocho menos cinco son tres y el resultado es positivo porque el ocho está más lejos del cero que el menos cinco.

Cuando hay paréntesis, vamos a utilizar las leyes de los signos de la multiplicación para eliminarlos, recordemos que:

$$(+)(+)=+$$

$$(+)(-)=-$$

$$(-)(+)=-$$

$$(-)(-)=+$$

Por lo tanto:

$$-13+(-4)=-13-4=-17$$

Lo primero que hacemos es quitar el paréntesis, el más multiplicado por el menos da menos, una vez sin paréntesis vemos que se trata de dos números con el mismo signo, así que se suman y el resultado mantiene el signo.

Otro ejemplo:

$$-12-(-7)=-12+7=-5$$

Al multiplicar los signos menos por menos da más y quedan dos números con diferente signo, ya vimos como hacer esto, se restan y el resltado es negativo (porque el menos doce es el más alejado del cero).

En una secuencia de sumas y restas, hacemos lo siguiente: sumamos todos los positivos, despues todos los negativos y al final se restan los resultados. Ejemplo:

$$-6+4-7-12+9-4+17-8+3+7$$

Primero sumamos todos los positivos:

$$4+9+17+3+7= 40$$

Después todos los negativos:

$$-6-7-12-4-8=-37$$

Por último resolvemos:

$$40-37=3$$

Este procedimientos se utiliza tambien con fracciones y decimales. Para ejemplificar resolveremos los siguientes ejercicios:

1. En el caribe mexicano una tortuga se encuentra comiendo a $\frac{7}{8}$ de metro bajo la superficie, después, sube $\frac{1}{5}$ de metro continuar alimentándose. ¿A qué distancia se encuentra bajo la superficie?

Si asociamos descender con numeros negativos y ascender con los positivos, lo que tenemos que resolver es:

$$-\frac{7}{8}+\frac{1}{5}$$

Esto se puede resolver buscando fracciones equivalentes amplificando cada fracción con el denominador de la otra:

$$(-\frac{7}{8})(\frac{5}{5})+(\frac{1}{5})(\frac{8}{8})=\frac{-35}{40}+\frac{8}{40}=\frac{-35+8}{40}=\frac{-27}{40}$$

¿La tortuga se encuentra a mayor o menor profundidad de medio metro? Para responder basta escribir medio metro de profundidad, de la siguiente forma:

$$\frac{-20}{40}$$ 

Para ver que la tortuga se encuentra a mayor profundidad.

2.- Beto compró con su tarjeta de crédito una pala a $\$245.75$ y una carretilla a $\$715.40$, después realizó un pago a su tarjeta por $850.50. ¿Cual es su deuda actualmente?

Asociamos las deudas con negativos y lo que paga con positivos, entonces la operación a realizar es:

$$-245.75-715.40+850.50$$

Ya vimos como hacer esto, se suman todos los positivos (aunque aquí nomás hay uno), después todos los negativos:

$$-245.75-715.40=-961.15$$

Y al final resolvemos:

$$850.50-961.15= -110.65$$

Actualmente su deuda es de $110.65.

3.- Juan se sumerge en el mar cerca de un arrecife para recoger muestras de vida, para su primera muestra desciende $1\frac{3}{5}$ de metro, por razones de seguridad Juan debe ascender medio metro para después descender $3\frac{2}{5}$ de metro para tomar la segunda muestra. ¿A qué distancia de la superficie está Juan al tomar esta última muestra?

Los descensos serán negativos y los ascensos positivo, antes de hacer las operaciones, convertiremos las fracciones mixtas a impropias:

$$1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$$

$$3\frac{2}{5}=\frac{17}{5}$$

Entonces hay que resolver:

$$ -\frac{8}{5}+\frac{1}{2}-\frac{17}{5}$$

Solo hay un un positivo, lo dejamos así y sumamos los negativos: 

$$ -\frac{8}{5}-\frac{17}{5}=-\frac{25}{5}=-5$$

Ahora resolvemos:

$$\frac{1}{2}-5= \frac{1}{2}-\frac{-10}{2}=\frac{1-10}{2}=-\frac{9}{2}=-4\frac{1}{2}$$

Y hemos terminado, Juan se encuentra a 4 metros y medios de la superficie.