Aprende en casa 2. Matemáticas. Tercero de secundaria, 11 de septiembre.

DE LA MODA, LO QUE TE ACOMODA

APRENDIZAJE ESPERADO

Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la desviación media de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

La estadística se divide en dos ramas: la estadística descriptiva, la cual se relaciona con la descripción de los datos recopilados en una muestra, y la estadística inferencial, que se relaciona con el proceso de utilizar los datos de una muestra para realizar inferencias y tomar decisiones respecto a la población de la cual se toma la muestra.

Las medidas de tendencia central, permiten hacer una descripción  de de los datos en función de algunos de ellos que los representan. Las más comunes son:

Media aritmética ($\bar{x}$): Es el promedio de los datos numérico, para calcularla se suman todos los datos y se divide entre la cantidad de ellos. Por ejemplo, la media aritmética de: 12, 7 y 17 se calcula:

$$\bar{x}=\frac{12+7+17}{3}=\frac{36}{2}=18$$

Se divide entre tres porque son tres datos.

Mediana ($\tilde{x}$): Es el dato que queda en el centro cuando se ordenan de menor a mayor o viceversa. Aquí hay dos casos.

• Si el número de elementos es impar, habrá un dato justo en el centro (después de ser ordenados) y ese será mediana.
• Si el número de datos es impar, habrá dos ubicados en el centro (después de ser ordenados) y la mediana será su promedio (media aritmética).
  

Ejemplos: 

1.- ¿Cuál es la mediana de: 23, 34, 35, 46, 52? Como hayun número impar de datos (son 5) solo hay uno en el centro, el 35, por lo tanto este es la mediana, $\tilde{x}=35$

2.-¿Cuál es la mediana de: 12, 18, 24, 26, 31, 40? Como hay un número par de datos (son 6) hay dos elementos en el centro, el24 y el 26, por lo tanto la mediana sera su promedio.

$$\tilde{x}=\frac{24+26}{2}=\frac{50}{2}=25$$ 

Moda ($\hat{x}$): Es el dato qu más se repite. Puede ser que no haya, o que haya dos, en tal caso la distribución será bimodal, pero pudiera ser trimodal, etc. Como ejemplo:

3.-¿Cuál es la moda de: 23, 18, 12, 13, 12, 20, 15, 12, 13, 19? El dato que más se repite es 12, por lo tanto, $\hat{x}=12$.

Vamos a resolver un ejercicio que incluya a estas tres medidas.

4.- Al medir las alturas de las plantas de nuestro jardín encontramos (en pulgadas): 4, 3, 1, 6, 1, 7. Si queremos informar a otra persona que no puede ver las plantas, su tamaño dándole un solo número que represente todas esas medias, ¿qué medida de tendencia central utilizamos?

Vamos a calcularlas todas.

Primero la media aritmética:

$$\bar{x}=\frac{4+3+1+6+1+7}{6}=\frac{22}{6}=3.66$$

Ahora la mediana, para esto ordenamos los datos: 1, 1, 3, 4, 6, 7. Vemos que hay dos en el centro (ya que el número de ellos es par), el 3 y el 4, por lo tanto se promedian.

$$\tilde{x}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3.5$$

Por último la moda, esta es fácil, ya podemos observar que el dato que más se repite es uno, por lo cual:

$$\hat{x}=1$$

La medida de tendencia central que nos sirve es la media, ya que la mayoría de los datos son mayores o igual a tres y es el valor que más representa a todos los demás.

Ahora vamos a ver cómo se clcula la desviación media. Para esto resolveremos elsiguiente ejercicio. 

5.- Se realizó una encuesta en la que se le preguntó a estudiantes de telesecundaria cuántos de ellos se trasladaban en bicicleta a su escuela. Los datos obtenidos son:

Lo primero que hacemos es calcular la media aritmética:

$$\bar{x}=\frac{42+35+29+58+38+35+43+18+22+63+35+50}{12}=\frac{468}{12}=39$$

Ahora vamos acomparar los demás datos con la media para saber cuáles están por debajo o por encima de ella. Para esto vamos a colocar en la tabla una columna donde se registre la desviación respecto de la media y se calcula restando a cada dato la media.

De aquí podemos observar cuáles son las escuelas con un número de alumnos menor que la media (las que tienen su desviación negativas) o mayor (desviación positiva).

Ahora vamos a agregar una nueva columna que tenga los valores absolutos de estas desviaciones, es decir, la distancia promedio de cada dato a la media. Para esto solo hacemos todos los datos positivos.

La desviación media (Dm) se define como el promedio de estas distancias. Y es lo que vamos a calcular:

 
$$DM=\bar{x}=\frac{3+4+10+19+1+4+4+21+17+24+4+11}{12}=\frac{122}{12}=10.16$$

Uno esperaria encontrar una desviación media pequeña, lo que indicaría poca dispersión de los datos. En este caso, como el valor es 10.16 hay una considerable dispersión de los datos. Otra propiedad de la desviación media es que si sumamos y restamos su valor a la media y con estos valores formamos un intervalo, la mayoría de los datos estarán en él. Los que quedan fuera representan los datos más alejados de la media.

6.- Hallar la media, mediana y la moda del siguiente conjunto de números:

$$23, 29, 20, 32, 23, 21, 33, 25$$

Primero la media:

$$\bar{x}=\frac{23+29+20+32+23+21+33+25}{8}=\frac{206}{8}=25.75$$

Ahora la mediana, para estos los ordenamos de menos a mayor: $20, 21, 23, 23, 25, 29, 32, 33$. Como hay un número par de datos (son 8) quedan dos en el centro, el $23$ y el $25$, por lo tanto los vamos a promediar:

$$\tilde{x}=\frac{23+25}{2}=\frac{48}{2}=24$$

Por último la moda, como el dato que más se repite es $23$:

$$\hat{x}=23$$