Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 16 de septiembre

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Y NÚMEROS FRACCIONARIOS

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de multiplicación y división con fracciones y decimales positivos

ÉNFASIS

Obtener los factores de escala y recíproco.

 

Antes de entrar en materia, hay que repasar algunas procedimientos útiles.

• Convertir un decimal finito a fracción. Esto se realiza escribiendo como numerador el número sin punto y como denominador un uno seguido de tantos ceros como decimales en la cantidad original.

Ejemplos:

1.- Convertir $0.8$ a fracción.

Siguiendo la regla expresada anteriormente, escribimos en el númerador el $8$ (el número que queremos convertir sin punto) y como denominador el $10$, un uno con un cero (porque en la cantidad original solo hay un decimal. De ser posible la fracción se simplifica.

$$0.8=\frac{8}{10}=\frac{8\div 2}{10\div 2}=\frac{4}{5}$$

2.- Convertir $0.25$ a fracción. 

El número sin punto es $25$ y como hay dos decimales en el denominador va el $100$. Al final se simplifica la fracción.

$$0.25=\frac{25}{100}=\frac{25\div 5}{100\div 5}=\frac{5}{20}=\frac{5\div 5}{20\div 5}=\frac{1}{4}$$

3.- Convertir $0.125$ a fracción.

Procedemos de la misma forma.

$$0.125=\frac{125}{1000}=\frac{125\div 5}{1000\div 5}=\frac{25}{200}=\frac{25\div 5}{200\div 5}=\frac{5}{40}=\frac{5\div 5}{40\div 5}=\frac{1}{8}$$

• Convertir una fracción a decimal. Para esto se divide el numerador entre el denominador. El numerador, el que está arriba, va dentro de la casita y el denominador va adentro. En los ejemplos asumiremos que ya saben dividir. 

Ejemplo:

4.- Convertir $\frac{7}{5}$ a decimal.

$$\frac{7}{5}=1.4$$

 Si hay una entero en las operaciones, se convierte a fracción colocando como denominador el uno y se aplican los procedimientos que ahora vamos a explicar.

Multiplicación de fracciones por decimales

Al multiplicar un decimal por una fracción, lo primero es transformar uno de los factores para que los dos tengan la misma forma, ambos fracciones o los dos decimales. Como ejemplo resolveremos el siguiente ejercicio:

5.- Una señora quiere comprar queso Oaxaca. Al llegar a la tienda se encuentra con que el kilogramo cuesta$\$101.60$. ¿Cuánto pagará por tres cuartos de kilogramo.

Basta hacer una multiplicación, el precio $\$101.60$ por la cantidad de kilogramos $\frac{3}{4}$, pero primero convertimos el precio de decimal a fracción:

$$101.60=\frac{10160}{100}=\frac{10160\div 20}{100\div 20}=\frac{508}{5}$$

Ahora multiplicamos: 

$$\left ( \frac{508}{5} \right )\left ( \frac{3}{4} \right )=\frac{1524}{20}=\frac{1524\div 2}{20\div 2}=\frac{762}{10}=\$76.2$$

Tres cuartos de queso Oaxaca cuestan $\$76.2$

6.- Encontrar el área del siguiente rectángulo:

 

 

 Esto se resuelve multiplicando la base de $3\frac{1}{2}$ por la altura $1,25$

$$A=\left ( 3\frac{1}{2} \right )\left (1.25  \right )$$

Tenemos dos opciones:

• Convertir la fracción a decimal para multiplicar dos decimales, en este caso tenemos una fracción mixta que se puede convertir a decimal directamente, pero de ser necesario se transforma en fracción impropia y después se divide:
  

$$ 3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}=3.5$$

 

Como se muestra en la imagen, para convertir la fracción mixta a impropia, el denominador multiplica al entero, luego se  suma el numerador el resultado es el numerador de la fracción impropia, el denominador no cambia.

Ahora encontramos el área: 

$$A=\left ( 3.5 \right )\left (1.25  \right )=4.375m^{2}$$

Para la multiplicación de decimales puedes checar aquí.

• Convertir el decimal en fracción para multiplicar dos fracciones, esto lo hacemos directamente: 

$$1.25=\frac{125}{100}=\frac{25}{20}=\frac{5}{4}$$

Ahora multiplicamos con la fracción mixta convertida en impropia:

$$A=\left (\frac{7}{2} \right )\left (\frac{5}{4} \right )=\frac{35}{8}m^{2}$$

Al multiplicar dos fracciones, el productos de los numeradores, es el nuevo numerados y el producto de los denominadores es el nuevo denominador. 

División entre fracciones y decimales

Ahora repasaremos brevemente la división entre decimales y fracciones

7.- Para confeccionar los sombreros de una obra de teatro, la vestuarista requiere cortar tramos de listón de $\frac{3}{4}m$ de una pieza que mide $4.5m$ de longitud. ¿Cuántos tramos de listón se obtienen de la pieza?

Esto se resuelve con la siguiente división:

$$4.5\div \frac{3}{4}$$

Nuevamente tenemos dos opciones:

• Convertir el decimal a fracción para hacer una división de fracciones.

$$4.5=\frac{45}{10}=\frac{45\div 5}{10\div 5}=\frac{9}{2}$$

Por último:

$$ \frac{9}{2}\div\frac{3}{4}=\frac{36}{6}=6$$

Recordando que al dividir dos fracciones, el numerador de la primera multiplica al denominador de la segunda y el resultado es el nuevo numeradór y el denomindor de la primera multiplica al numerador de la segunda y el resultado es el nuevo denominador.

• Convertir la fracción a decimal para tener una división con decimales.

$$\frac{3}{4}=0.75$$

Para tener:

$$4.5\div 0.75= 6$$

8.-  Resolver la operación: $0.2\div \frac{2}{3}$

Vamos a convertir el decimal a fracción.

$$0.2=\frac{2}{10}=\frac{2\div 2}{10\div 2}=\div{1}{5}$$

Ahora si dividimos las fracciones con el procedimientos explicado anteriormente.

$$\frac{1}{5}\div \frac{2}{3}=\frac{3}{10}$$

9.- Resolver la operación: $\frac{6}{5}\div0.12$

Convertimos el decimal a fracción:

$$0.12=\frac{12}{100}=\frac{12\div4}{100\div 4}=\frac{3}{25}$$

Ahora realizamos la división:

$$\frac{6}{5}\div\frac{3}{25}=\frac{150}{15}=10$$
 

Ya solo falta un concepto más. 

10.- El diseño de los recipientes que se muestran en la siguiente figura aprovecha el espacio de almacenamiento, ya que cuando están vacíos pueden guardarse uno dentro de otro.

Si el recipiente 2 tiene un tamaño proporcional de $\frac{3}{4}$ respecto al recipiente 1. ¿Cuánto mide su diámetro?

Como el factor de escala es $\frac{3}{4}$ simplemente se multiplica el diámetro de la primera $22.5cm$ por este factor.

$$\left (22.5  \right )\left ( \frac{3}{4} \right )$$

Vamos a convertir la fracción a decimal:

$$\frac{3}{4}=0.75$$

Por lo tanto:

$$\left (22.5  \right )\left ( 0.75 \right )=16.875$$

El diámetro dela segunda es de $16.875cm$ 

Si queremos encontrar también la altura del recipiente 2, multiplicamos la altura del recipiente 1 por el factor de escala ($\frac{3}{4}$) convertido en décimal $0.75$.

$$ \left (12.7  \right )\left ( 0.75 \right )=9.525$$

La altura es $9.525cm$

Si las dimensiones de cada recipiente son proporcionales a tres cuartos del anterior, entonces multiplicando la altura y el diámetro de algún recipiente por el factor $\frac{3}{4}$, obtenemos las del siguiente.

Pregunta final:

Si tuvieras que trazar el terreno del problema de “multiplicación con números fraccionarios y decimales” a escala, ¿qué información debes considerar?, ¿qué características debe tener su trazo comparado con el terreno original? Necesitamos conocer el factor de escala, y las figuras serían semejantes, pues sus lados correspondientes son proporcionales.