Área del trapecio.
Uno de los errores más comunes en la enseñanza de las matemáticas, es proporcionar a los estudiantes contenidos ya digeridos, evitando el proceso que permite asimilar de manera más aficaz los conceptos.
La abismal diferencia entre las matemáticas reales y la pálida y cutre asignatura que se imparte en las escuelas se vuelve más evidente al contemplar el manejo que se le da a la geometría. Cabe recordar que esta fue una de las primeras construcciones lógicas, el primer edificio solidamente cimentado en una estructura axiomática y donde cada afirmación descanza en una serie de argumentos y procedimientos que demuestran su veracidad.
A pesar de esto, lo que llega a las aulas es un conjunto de fórmulas que nadie sabe de dónde vienen pero que hay que memorizar y aplicar.
Ya tendremos tiempo de profundizar en esto, ahora vamos a presentar diversas maneras de obtener la fórmula del área de un trapecio.
Para ponernos al día, un trapecio es un cuadrilatero convexo que tiene paralelos un par de lados opuestos. Como este:
El área de este cuadrilatero se calcula con la mundialmente conocida fórmula:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Las variables implicadas se muestran a continuación:
Hasta aqui todo transcurre normal, se memoriza y se aplica, pero ¿de dónde viene esta fórmula? ¿cómo sabemos que funciona?
Existen muchas maneras de corroborarla, la más sencilla consiste en un trazo auxiliar (recuerdan la entrada de Cómo enseñar Matemáticas sin morir en el intento I, un trazo auxiliar puede ser la solución a muchos de nuestros problemas), a manera de diagonal para formar dos triángulos:
Se puede observar que el área del trapecio es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos (ambos con la misma altura y de bases respectivas, B y b), y partiendo de que el área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido entre dos, tenemos que $A$ (el área del trapecio) es:
$$A = \frac{ B h}{2}+\frac{ b h}{2}$$
¡Y ya está! Simplemente factorizamos por factor común:
$$A= \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Otra manera de obtenerla es tomar dos trapecios congruentes, aplicarle a uno de ellos una rotación de 180 grados y unirlos para formar un paralelogramo.
Como sabemos, el área de un paralelogramos es igual a al producto de la base por la altura, que en este caso son, $B+b$ y $h$ respectivamente. Pero ahora lo que conseguimos es el doble del área del trapecio, es decir $2A$, entonces:
$$2A = \left ( B+b \right )h$$
De donde evidentemente resulta la fórmula buscada:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Una forma distinta es la siguiente: se trazan dos alturas desde los extremos de la base menor, formando tres figuras conocidas (dos triángulos y un rectángulo).
La suma de sus áreas nos da el área del trapecio. Como las bases de los triángulos son $b_{1}$ y $b_{2}$, la del rectángulo es $b$ y todas las alturas son $h$, tenemos:
$$A=\frac{b_{1}h}{2}+\frac{b_{2}h}{2}+bh$$
Que con un poco de trabajo algebraico podemos convertir en:
$$A=\frac{b_{1}h}{2}+\frac{b_{2}h}{2}+\frac{2bh}{2}=\frac{\left ( b_{1} +b_{2}+2b\right )h}{2}=\frac{\left ( b_{1} +b_{2}+b+b\right )h}{2}$$
Pero de la figura observamos que:
$$b_{1}+b_{2}+b=B$$
Y sustituyendo en la expresión anterior, nuevamente encontramos:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Por último, presentamos una de las formas más intuitivas pero tal vez la menos conocida, consiste en tomar un triángulo:
Hacer un corte paralelo a la base:
Y calcular el área del trapecio restando al área del triángulo grande, la del pequeño:
Es decir:
$$A=\frac{BH}{2}-\frac{bh^{'}}{2}$$
Pero, $H=h+h^{'}$, por lo cual:
$$A=\frac{B\left ( h+h^{'} \right )}{2}-\frac{bh^{,}}{2}=\frac{Bh}{2}+\frac{Bh^{'}}{2}-\frac{bh^{,}}{2}=\frac{Bh}{2}+\frac{\left ( B-b \right )h^{'}}{2}$$
De manera simplificada decimos que el área del trapecio es:
$$A=\frac{Bh}{2}+\frac{\left ( B-b \right )h^{'}}{2}$$
Por otra parte, debido a que el corte fue paralelo a la base, los triángulos (el grande inicial y el pequeño del corte) son semejantes, entonces:
$$\frac{B}{H}=\frac{b}{h^{'}}$$
Que también se puede escribir:
$$\frac{B}{h+h^{'}}=\frac{b}{h^{'}} $$
De donde obtenemos:
$$B=\frac{b\left ( h+h^{'} \right )}{h^{'}}=\frac{bh}{h^{'}}+b$$
Y por último:
$$B-b=\frac{bh}{h^{'}}$$
Sustituyendo esto en la última expresión del área nos da:
$$A=\frac{Bh}{2}+\frac{bhh^{'}}{2h^{'}}=\frac{Bh}{2}+\frac{bh}{2}=\frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Y volvemos a encontrar la fórmula conocida.
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Debe de haber más formas, pero con estas tenemos para exponer nuestro punto, la parte interesante de las mates está en comprobar los resultados o buscar deducirlos nosotros mismos. ¿Crees que puedas encontrar una forma diferente de verificar la fórmula?
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Las variables implicadas se muestran a continuación:
Existen muchas maneras de corroborarla, la más sencilla consiste en un trazo auxiliar (recuerdan la entrada de Cómo enseñar Matemáticas sin morir en el intento I, un trazo auxiliar puede ser la solución a muchos de nuestros problemas), a manera de diagonal para formar dos triángulos:
$$A = \frac{ B h}{2}+\frac{ b h}{2}$$
¡Y ya está! Simplemente factorizamos por factor común:
$$A= \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Otra manera de obtenerla es tomar dos trapecios congruentes, aplicarle a uno de ellos una rotación de 180 grados y unirlos para formar un paralelogramo.
Como sabemos, el área de un paralelogramos es igual a al producto de la base por la altura, que en este caso son, $B+b$ y $h$ respectivamente. Pero ahora lo que conseguimos es el doble del área del trapecio, es decir $2A$, entonces:
$$2A = \left ( B+b \right )h$$
De donde evidentemente resulta la fórmula buscada:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Una forma distinta es la siguiente: se trazan dos alturas desde los extremos de la base menor, formando tres figuras conocidas (dos triángulos y un rectángulo).
La suma de sus áreas nos da el área del trapecio. Como las bases de los triángulos son $b_{1}$ y $b_{2}$, la del rectángulo es $b$ y todas las alturas son $h$, tenemos:
$$A=\frac{b_{1}h}{2}+\frac{b_{2}h}{2}+bh$$
Que con un poco de trabajo algebraico podemos convertir en:
$$A=\frac{b_{1}h}{2}+\frac{b_{2}h}{2}+\frac{2bh}{2}=\frac{\left ( b_{1} +b_{2}+2b\right )h}{2}=\frac{\left ( b_{1} +b_{2}+b+b\right )h}{2}$$
Pero de la figura observamos que:
$$b_{1}+b_{2}+b=B$$
Y sustituyendo en la expresión anterior, nuevamente encontramos:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Por último, presentamos una de las formas más intuitivas pero tal vez la menos conocida, consiste en tomar un triángulo:
Hacer un corte paralelo a la base:
Y calcular el área del trapecio restando al área del triángulo grande, la del pequeño:
Es decir:
$$A=\frac{BH}{2}-\frac{bh^{'}}{2}$$
Pero, $H=h+h^{'}$, por lo cual:
$$A=\frac{B\left ( h+h^{'} \right )}{2}-\frac{bh^{,}}{2}=\frac{Bh}{2}+\frac{Bh^{'}}{2}-\frac{bh^{,}}{2}=\frac{Bh}{2}+\frac{\left ( B-b \right )h^{'}}{2}$$
De manera simplificada decimos que el área del trapecio es:
$$A=\frac{Bh}{2}+\frac{\left ( B-b \right )h^{'}}{2}$$
Por otra parte, debido a que el corte fue paralelo a la base, los triángulos (el grande inicial y el pequeño del corte) son semejantes, entonces:
$$\frac{B}{H}=\frac{b}{h^{'}}$$
Que también se puede escribir:
$$\frac{B}{h+h^{'}}=\frac{b}{h^{'}} $$
De donde obtenemos:
$$B=\frac{b\left ( h+h^{'} \right )}{h^{'}}=\frac{bh}{h^{'}}+b$$
Y por último:
$$B-b=\frac{bh}{h^{'}}$$
Sustituyendo esto en la última expresión del área nos da:
$$A=\frac{Bh}{2}+\frac{bhh^{'}}{2h^{'}}=\frac{Bh}{2}+\frac{bh}{2}=\frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Y volvemos a encontrar la fórmula conocida.
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Debe de haber más formas, pero con estas tenemos para exponer nuestro punto, la parte interesante de las mates está en comprobar los resultados o buscar deducirlos nosotros mismos. ¿Crees que puedas encontrar una forma diferente de verificar la fórmula?
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