Demostraciones I
¿Las matemáticas son inductivas o deductivas? Esta pregunta carece de sentido si no se aclaran los conceptos que envuelve.
La Geometría paso de ser un conjunto de conocimientos intuitivos, a convertirse en la primer disciplina axiomatizada en el año 300 antes de nuestra era con Euclides y concluyó su proceso de formalización con Hilbert en 1899.
- Inductivo implica ir de lo particular a lo general, es decir, a partir de ciertas experiencias se construye conocimiento con una característica muy extraña, no es verdadero ni falso, simplemente permanece como conjetura hasta que encontramos evidencias en su contra o una demostración de su autenticidad.
- Deductivo, por otra parte, significa ir de lo general a lo particular, en este caso, a partir de principios o leyes claras y bien definidas, se extrae conocimiento con un sustento sólido.
La Geometría paso de ser un conjunto de conocimientos intuitivos, a convertirse en la primer disciplina axiomatizada en el año 300 antes de nuestra era con Euclides y concluyó su proceso de formalización con Hilbert en 1899.
Sin embargo la matemática actual no sigue el mismo camino. Gran parte de las nuevas teorías han sido creada buscando herramientas para resolver problemas, enfrentar retos y deshacer paradojas. Podemos ejemplificar esto con el surgimiento de la teoría de grafos a partir del problema de los puentes de Königsberg.
Por otra parte, la existencia de conjeturas que resisten desesperados intentos de demostración son tambien una muestra de esto. ¿Conjeturas? Si, los matemáticos desarrollan una especie de "intuición" que permite suponer ciertos resultados. Y esa "intuición" se ha querido encajonar dentro del método inductivo. Una conjetura que resulta verdadera se transforma en teorema.
Una demostración es una argumentación lógica de que algo es verdad. Dicha argumentación no puede ser un ejemplo, el hecho de que algo suceda una, dos o más veces no significa que siempre lo vaya a hacer, al menos no en matemáticas.
En El Hombre que Calculaba Malba Tahan nos da el siguiente ejemplo con raíces cuadradas:
Se puede verificar multiplicando que $\sqrt { 2025 } = 45$ y además $20 + 25 = 45$ (chequen que 20 y 25 se obtienen separando los dígitos de 2025).
También, $\sqrt {3025 } = 55$ y de la misma manera $30 + 25 = 55$.
Por si fuera poco, $ \sqrt { 9801 }= 99$ donde $98 + 01 = 99$.
Esto nos puede llevar a suponer que la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras es igual a la suma de las cantidades formadas por los dos primeros y los dos últimos dígitos. Sin embargo esto no es cierto como podemos ver en el siguiente contraejemplo: $ \sqrt {4225} = 65$ pero $42 + 25 = 67$.
Si bien, un ejemplo no demuestra una conjetura, un contraejemplo si puede acabar con ella.
Esto último lo encontramos con Fermat, él creía que la fórmula $2^{2^{n}}+1$ daría siempre un número primo cuando $n$ toma los valores: $0, 1, 2, 3,...$, esos números se representan por: $f_{n}$ y se llaman números de Fermat. Los primeros cinco son primos:
$f_{0} = 3$; $f_{1} = 5$; $f_{2} = 17$; $f_{3} = 257$ y $f{4} = 65537$.
Pero en 1732 Euler demostró que $f_{5}$ es compuesto, mediante la siguiente factorización:
$$f_{5} = 2^{2^{5}}+1 = 2^{32}+1= (641)(6700417)$$
Por lo tanto la idea de Fermat no era correcta.
Una demostración se puede trabajar desde varios enfoques y aquí vamos a presentar los más comunes, comenzaremos con el:
Método Directo
Este método es (tambien llamado por Solow, Progresivo regresivo) sirve para demostrar implicaciones, es decir, propociciones compuestas de la forma: Si $P$ entonces $Q$. Donde $P$ se llama hipótesis y $Q$, tesis. Funciona de la siguiente manera:
Si $P$ es verdadera, se parte de ella y se opera lógica y/o algebraicamente hasta llegar a $Q$ (una variante lógica consiste en suponer que $Q$ no se cumple para llegar a que $P$ tampoco). Un ejemplo del uso de este método se presenta a continuación:
Demostrar que si el triángulo ABC con catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$ tiene un área de $\dfrac{c^{2}}{4}$, entonces el triángulo es isosceles.
La figura sólo es ilustrativa, no está permitido obtener datos de ella, sólo contamos con lo que dice el enunciado. Por lo tanto hay que analizarlo y hacer la separación de su contenido. En este caso, la hipótesis y tesis son, respectivamente:
$P=$ El triángulo ABC con catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$ tiene un área de $\dfrac{c^{2}}{4}$
$Q=$ El triángulo es isosceles.
Lo primero que vamos a hacer es irnos hasta el final y ver cuál o cuáles son las condiciones que garantizan que un triángulo sea isosceles para tener claro a dónde queremos llegar. La característica principal de este tipo de triángulos es que tienen dos lados o dos ángulos iguales, como no hay datos sobre los ángulos nos centramos en los lados.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado más grande, por lo tanto, los lados iguales deben ser los catetos y todo se reduce a demostrar que $a=b$.
Comenzamos teniendo en cuenta que los catetos pueden tomar indistintamente el papel de la base o de altura. Según la hipotesis:
$$A=\dfrac{c^{2}}{4}$$
Por la fórmula del área del triángulo (base por altura entre dos):
$$A=\dfrac{ab}{2}$$
Combinando las igualdades anteriores:
$$\dfrac{ab}{2}=\dfrac{c^{2}}{4}$$
Con un pequeño reacomodo algebraico se obtiene:
$$2ab=c^{2}$$
Del teorema de Pitágoras sabemos que:
$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$
Por transitividad las dos últimas ecuaciones arrojan:
$$2ab=a^{2}+b^{2}$$
Dejando solo un lado de la ecuación y factorizando el trinomio de cuadrado perfecto, nos queda:
También, $\sqrt {3025 } = 55$ y de la misma manera $30 + 25 = 55$.
Por si fuera poco, $ \sqrt { 9801 }= 99$ donde $98 + 01 = 99$.
Esto nos puede llevar a suponer que la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras es igual a la suma de las cantidades formadas por los dos primeros y los dos últimos dígitos. Sin embargo esto no es cierto como podemos ver en el siguiente contraejemplo: $ \sqrt {4225} = 65$ pero $42 + 25 = 67$.
Si bien, un ejemplo no demuestra una conjetura, un contraejemplo si puede acabar con ella.
Esto último lo encontramos con Fermat, él creía que la fórmula $2^{2^{n}}+1$ daría siempre un número primo cuando $n$ toma los valores: $0, 1, 2, 3,...$, esos números se representan por: $f_{n}$ y se llaman números de Fermat. Los primeros cinco son primos:
$f_{0} = 3$; $f_{1} = 5$; $f_{2} = 17$; $f_{3} = 257$ y $f{4} = 65537$.
Pero en 1732 Euler demostró que $f_{5}$ es compuesto, mediante la siguiente factorización:
$$f_{5} = 2^{2^{5}}+1 = 2^{32}+1= (641)(6700417)$$
Por lo tanto la idea de Fermat no era correcta.
Una demostración se puede trabajar desde varios enfoques y aquí vamos a presentar los más comunes, comenzaremos con el:
Método Directo
Este método es (tambien llamado por Solow, Progresivo regresivo) sirve para demostrar implicaciones, es decir, propociciones compuestas de la forma: Si $P$ entonces $Q$. Donde $P$ se llama hipótesis y $Q$, tesis. Funciona de la siguiente manera:
Si $P$ es verdadera, se parte de ella y se opera lógica y/o algebraicamente hasta llegar a $Q$ (una variante lógica consiste en suponer que $Q$ no se cumple para llegar a que $P$ tampoco). Un ejemplo del uso de este método se presenta a continuación:
Demostrar que si el triángulo ABC con catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$ tiene un área de $\dfrac{c^{2}}{4}$, entonces el triángulo es isosceles.
La figura sólo es ilustrativa, no está permitido obtener datos de ella, sólo contamos con lo que dice el enunciado. Por lo tanto hay que analizarlo y hacer la separación de su contenido. En este caso, la hipótesis y tesis son, respectivamente:$P=$ El triángulo ABC con catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$ tiene un área de $\dfrac{c^{2}}{4}$
$Q=$ El triángulo es isosceles.
Lo primero que vamos a hacer es irnos hasta el final y ver cuál o cuáles son las condiciones que garantizan que un triángulo sea isosceles para tener claro a dónde queremos llegar. La característica principal de este tipo de triángulos es que tienen dos lados o dos ángulos iguales, como no hay datos sobre los ángulos nos centramos en los lados.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado más grande, por lo tanto, los lados iguales deben ser los catetos y todo se reduce a demostrar que $a=b$.
Comenzamos teniendo en cuenta que los catetos pueden tomar indistintamente el papel de la base o de altura. Según la hipotesis:
$$A=\dfrac{c^{2}}{4}$$
Por la fórmula del área del triángulo (base por altura entre dos):
$$A=\dfrac{ab}{2}$$
Combinando las igualdades anteriores:
$$\dfrac{ab}{2}=\dfrac{c^{2}}{4}$$
Con un pequeño reacomodo algebraico se obtiene:
$$2ab=c^{2}$$
Del teorema de Pitágoras sabemos que:
$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$
Por transitividad las dos últimas ecuaciones arrojan:
$$2ab=a^{2}+b^{2}$$
Dejando solo un lado de la ecuación y factorizando el trinomio de cuadrado perfecto, nos queda:
$$0=a^{2}-2ab+b^{2} =\left(a-b\right)^{2}$$
Y como sabemos, una cantidad elevada al cuadrado es igual a cero unicamente si la cantidad es cero (siempre y cuando no consideremos los números de Grassmann). Por lo tanto:
$$a-b=0$$
De aquí:
Y hemos terminado, esta última igualdad nos garantiza que el triángulo ABC es isosceles. Se acostumbra terminar una demostración con las siglas QED de la locución latina Quod erat demonstrandum, que significa: lo que se quería demostrar.
Y como sabemos, una cantidad elevada al cuadrado es igual a cero unicamente si la cantidad es cero (siempre y cuando no consideremos los números de Grassmann). Por lo tanto:
$$a-b=0$$
De aquí:
$$a=b$$Y hemos terminado, esta última igualdad nos garantiza que el triángulo ABC es isosceles. Se acostumbra terminar una demostración con las siglas QED de la locución latina Quod erat demonstrandum, que significa: lo que se quería demostrar.
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