¿Por qué menos por menos es más? II

En la primera parte de esta entrada presentamos una sencilla prueba de que menos por menos es más, la demostración puede trabajarse desde primaria hasta bachillerato, con lo que se ha dado por llamar, material concreto (utilizando fichas de colores). Sin embargo existen otras maneras un poco menos triviales para los que gustan de experiencias matemáticas más fuertes. Pensando en ellos y cumpliendo con lo dicho en la parte anterior (lo de retomar algunas ideas sobre la multiplicación de diferentes matemáticos) presentamos:

Nuevas pruebas de que menos por menos es más

Comenzaremos con Rey Pastor y Puig Adam, quienes en Nociones de álgebra y trigonometría.(1946 p. 19 y 20), utilizan  el desplazamiento situando un objeto o persona sobre el cero (origen) de una recta graduada como modelo para la multiplicación con signos. Las convenciones son las siguientes: la velocidad hacia el pueblo B se considera negativa y hacia A, positiva. Por otra parte, el tiempo futuro es positivo y el pasado, negativo.

Utilizaremos la fórmula: distancia igual a  velocidad por  tiempo ($d=vt$) para encontrar la posición de los coches (esto se puede hacer asumiendo movimiento rectilineo uniforme). Si la persona que se encuentra en el origen observa una velocidad en ambos coches de $3 \frac{km}{h}$ (+3 en el coche 2 y -3 en el 1), podemos hacer las siguientes preguntas para analizar los signos de la multiplicación:

¿Cuál será la posición del coche 2 dentro de dos horas (velocidad y tiempo positivos)? Como recorre tres kilometros hacia la derecha cada hora, estará en +6.
$$d = (+3) (+2) = +6$$
¿Cuál fue su posición dos horas antes (Velocidad positiva y tiempo negativo)? Si retrocede (en dirección de B) tres kilometros cada hora, se encontraba en -6.
$$d = (+3) (-2) = -6$$
¿A qué distancia del origen se encontrará el coche 1 dentro de 2 horas (velocidad negativa y tiempo positivo)? Como avanza tres kilometros por hora hacia la izquierda, en dos horas se encontrará en -6.
$$d = (-3) (+2) = -6$$
¿Dónde se encontraba este mismo coche hace 2 horas (velocidad y tiempo negativos)? Al retroceder (en dirección de A) tres kilometros cada hora, su posición era +6.
$$d = (-3) (-2) = +6$$

De aqui concluimos que, ¡menos por menos es más!

Seguimos con Klein (sí, el de la botella), que en Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908), utiliza la multiplicación de binomios asumiendo que el producto de signos diferentes es negativo y se apoya en un modelo geometrico para indagar el signo de "menos por menos".

Fig. 1

Podemos observar que:
$$(a)(c)=ac$$
$$(a)(-d)=-ad$$
$$(-b)(c)=-bc$$

Falta saber el signo de:
 $$(-b)(-d)$$

Para determinarlo Klein parte de un rectángulo como el siguiente con la base y la altura como se muestra:

Fig. 2

Restándole $b$ a la altura y $d$ a la base, forma un rectángulo más pequeño (el azul):

Fig. 3

El área de este nuevo rectángulo es: $(a-b)(c-d)$ y el producto de estos binomios tiene cuatro términos, de los cuales se conocen con certeza los primeros tres  (a saber: $ac-ad-bc$), por lo tanto, se deja guiar por su interpretación geométrica, para encontrar el área azul (y encontrar de paso el signo de $bd$).

La traducción geométrica de la ecuación de la figura 1 es: el área del rectangulo azul $(a-b)(c-d)$, es igual a la del  rojo $ac$ después de restarle otros rectángulos de área $ad$ y $bc$ y una operación indeterminada (suma o resta) con la superficie $bd$.

Iniciamos con el rectangulo de superficie $ac$ (el rojo de la Figura 2) y le restamos $ad$, como se muestra en la siguiente figura:

Fig. 4

Ahora sustraemos $bc$, sin embargo, esto no puede hacerse de manera directa, pues una parte del rectángulo en cuestión (la parte verde) desaparecio al restar $ad$

Fig. 5

Esa parte verde de área $bd$ tendremos que quitarla de la parte azul (es la única que nos queda).  Por lo tanto siguiendo cuidadosamente los tres primeros términos ($ac-ad-bc$) obtenemos:

Fig. 6

¿Qué nos falta?Saber si para obtener la expresión correcta de $(a-b)(c-d)$ (el área del rectángulo azul) tenemos que sumar o restar $bd$, lo cual es obvio observando la Figura 6. ¡Tenemos que sumarla! Por lo tanto:

O algebraicamente:

 

Lo que implica que:

 $$(-b)(-d) = +bd$$

Nuevamente observamos que, ¡menos por menos es más!

Por último utilizamos el concepto de Euler que, en sus Elementos de Algebra (1770, p. 35)  interpreta a los negativos como deudas. Más que una demostración utilizaremos esta idea para deducir la reglas de los signos de una manera poco convencional. Para esto partiremos de lo siguiente:

• La deuda será positiva si nos deben y negativa si debemos.
• Saldar la deuda significa: pagar si debemos y que nos paguen si nos deben.
• Si la deuda es con cierta cantidad de personas, esta cantidad se considerará positiva si se salda y negativa si no se salda (las personas mueren, escapan, etc.).

Si 2 personas nos deben 3 pesos (cada una) y nos pagan, tendremos 6 pesos.

$$(+2)(+3)= +6$$ 

Si debemos tres pesos a cada una de 2 personas y pagamos, perdemos 6 pesos.

$$(+2)(-3)= -6$$

Si 2 personas nos deben 3 pesos (cada una) y no nos pagan, perdemos 6 pesos.

$$(-2)(+3)= -6$$

Si debemos tres pesos a cada una de 2 personas y no pagamos, ganamos 6 pesos.

$$(-2)(-3)=+6$$

Otra vez y por última vez en esta entrada, ¡menos por menos es más!