Tutorías de Física y Mate

En la entrada anterior vimos que el cálculo tal como lo conocemos guarda muchas sorpresas y que si nos interesas profundizar en su estudio, hay mucha tela de donde cortar. Ahora vamos a presentar otro tipo de cálculo, donde las cosas funcionan de una manera peculiar. Comenzaremos con unas relaciones  bastantes conocidas: $$\int e^{x}dx= e^{x}+c$$ $$\frac{\mathrm{d} e^{x}}{\mathrm{d} x}= e^{x}$$ La integral indefinida y la derivada de la función exponencial son iguales, salvo una constante. Imaginemos un tipo de cálculo donde para cualquier función ocurriera siempre lo mismo, es decir: $$\int f\left ( x \right ) \mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} f\left ( x \right )}{\mathrm{d} x}$$ De entrada podemos decir que se trata de un tipo de cálculo aburridísimo, pero aún así, vamos a ver si podemos construirlo. Sabemos que si elevamos un número real (diferente de cero) al cuadrado, obtenemos una cantidad mayor que cero. Si elevamos un número imaginario al cuadrado el resultado es un un

Existe la creencia de que el cálculo  representan el punto álgido de lás matemáticas. Así como intuimos (algunos) que no hay vida después de la muerte; piensan (algunos) que no hay matemáticas después del cálculo. Obviamente esto demuestra un desconocimiento profundo de la historia, escencia y alcance de esta área del intelecto. Claro que hay mates después de las derivadas e integrales, sin embargo en esta entrada no hablaremos de ellas,  nos enfocaremos a algunas cuestiones poco conocidas del cálculo convencional y a esbozar la existencia de otro tipo de cálculo. No vamos a utilizar definiciones rigurosas via épsilones y sumatorias, ni haremos uso del teorema fundamental. La primera parte de este trabajo  se me ocurrió mientra explicaba a mis alumnos que algunas funciones admiten primera, segunda, tercera y en general, derivadas de orden superior, es decir, que se pueden derivar una vez, dos veces, tres veces y etc. " ¿y si la derivo media vez? " me  preguntó  el chistosi

La mayoría de los estudiante sienten una aversión natural hacia los números, y digo natural porque no resulta nada atractivo pasar gran parte de nuestra infancia aprendiendo a lidiar con ellos en procedimientos que los maestros  aseguran que serán de utilidad, pero que de momento no tienen sentido. Y aunque los números esconden curiosidades sorprendentes y propiedades que nos permiten sacarle la vuelta a los algoritmos tediosos, ese rostro amable permanece vedado para miles de niños y jóvenes que crecerán odiando a las mates, asociándolas con la obligación de memorizar  cosas que proporcionan buenas calificaciones. Aunque no sea evidente, las propiedades de los números son más importantes que las operaciones que podamos hacer con ellos. En entradas anteriores hemos hablado sobre los divisores, hemos aprendido a contarlos y a encontrarlos. El único recurso que tenemos para garantizar que cierta cantidad divide a otra es mediante el procedimiento habitual, se divide y checamos si ha

En la entrada ¿cuántos divisores tiene un número? vimos que para responder esa pregunta debemos descomponer el número en factores primos, poner énfasis en los exponentes que aparecen, sumar la unidad a cada uno y multiplicar esos resultados.  Si queremos saber cuántos divisores tiene el 1800, lo factorizamos $2^{3}3^{2}5^{2}$, nos enfocamos en los exponentes, $3$, $2$ y $2$, les sumamos  uno, $3+1$, $2+1$ y $2+1$. Por último multiplicamos los resultados: $$\left ( 4 \right )\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )=36$$  Hay 36 divisores. El procedimiento es sencillo, pero  ¿por qué sumar uno? Para responder esto vemos que cada uno de los primos que aparecen en la factorización es un divisor de 1800, pero también todos los productos de potencias de estos con la condición de que el exponente sea mayor o igual a cero y menor o igual al que aparece en la descomposición. En el caso del 1800, los divisores se encuentran poniendo exponentes en el siguiente esquema: En

Si lees esto buscando técnicas para que tus alumnos puedan asimilar los aprendizajes esperados, no creo que encuentres lo que estás buscando. Este trabajo trasciende ese propósito; la matemática de la que trata no es el conjunto de conocimientos ya hechos que hay que aprender para obtener la nota escolarmente apropiada. Se refiere a ese edificio teórico en constante crecimiento, que no respeta al sentido común, que se reinventa en cada concepto y que se especializa en resolver problemas aunque no aporten nada al bagaje de conocimientos inmediatamente útiles. En otras palabras, este ensayo no proporciona mecanismos para que tus alumnos aprendan cómo elevar un binomio al cuadrado, ni estrategias para memorizar el teorema de Pitágoras o resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, pues el hecho de que logren memorizar las fórmulas o procedimientos de marras, no es suficiente para garantizar que saben matemáticas. Supongamos que lograste que puedan realizar est