Hasta el cálculo y más allá (segunda parte).

En la entrada anterior vimos que el cálculo tal como lo conocemos guarda muchas sorpresas y que si nos interesas profundizar en su estudio, hay mucha tela de donde cortar.
Ahora vamos a presentar otro tipo de cálculo, donde las cosas funcionan de una manera peculiar. Comenzaremos con unas relaciones  bastantes conocidas:
$$\int e^{x}dx= e^{x}+c$$
$$\frac{\mathrm{d} e^{x}}{\mathrm{d} x}= e^{x}$$
La integral indefinida y la derivada de la función exponencial son iguales, salvo una constante.
Imaginemos un tipo de cálculo donde para cualquier función ocurriera siempre lo mismo, es decir:
$$\int f\left ( x \right ) \mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} f\left ( x \right )}{\mathrm{d} x}$$

De entrada podemos decir que se trata de un tipo de cálculo aburridísimo, pero aún así, vamos a ver si podemos construirlo.

Sabemos que si elevamos un número real (diferente de cero) al cuadrado, obtenemos una cantidad mayor que cero. Si elevamos un número imaginario al cuadrado el resultado es un una cantidad negativa. Si nos atenemos a las opciones dadas por la propiedad de tricotomía, hace falta un sistema numérico donde el cuadrado de cualquier número sea siempre cero.

Vamos a imaginar que lo tenemos y esta formado por los siguientes bichitos $$\left \{ \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},... \right \}$$

Con la propiedad de que: $$\left ( \varepsilon _{1}  \right )^{2}=0$$

$$\left ( \varepsilon _{2}  \right )^{2}=0$$

y en general:

$$\left ( \varepsilon _{i}  \right )^{2}=0$$

¿Cuales serían las consecuencias? Muchas y para describir una, utilizaremos el desarrollo de una función en  serie de Taylor, que en el punto $a$ es: $$f\left ( x \right )=f(a)+\frac{f'\left ( a \right )\left ( x- a\right )}{1!}+\frac{f''\left ( a \right )\left ( x- a\right )^{2}}{2!}+\cdots +\frac{f^{n}\left ( a \right )\left ( x- a\right )^{n}}{n!}+R_{n}$$
Donde $R_{n}$ son todos los términos que faltan.
Si partimos de una función que  toma estos bichitos  y los transforma en números reales o complejos y realizamos el desarrollo en $a=0$ obtenemos:
$$f\left ( \varepsilon \right )=a_{0}+a_{1}\varepsilon$$

Donde $ a_{0}$ y $a_{1}$ son $f\left (0 \right )$ y $f'\left (0 \right )$ respectivamente y todas las potencias con exponente mayor o igual a dos se éliminan debido a la rara característica de este sistéma numérico (de desaperecer cuando se elevan al cuadrado).

Pues resulta que estos bichos existen y reciben el nombre de números o variables de Grassmann y fueron parte del repertorio con el que este matemático sentó las bases del algebra líneal.

La característica principal de estas variables es su anticonmutatividad, que se representa de la siguiente manera:

$$ \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}= -\varepsilon _{j}\varepsilon _{i}$$

O de otra forma:

 $$ \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}\varepsilon _{i}=0$$

De donde naturalmente se sigue (tomando $i=j$): 

$$ \varepsilon _{i}^{2}+\varepsilon _{i}^{2}= 2\varepsilon _{i}^{2}=0$$

Por lo tanto:

$$\varepsilon _{i}^{2}=0$$

Vamos a tomar la derivada de una función respecto a estas variables (utilizando el desarrollo en serie de Taylor): 

$$ \frac{\mathrm{d} f\left ( \varepsilon \right )}{\mathrm{d} \varepsilon}= \frac{\mathrm{d} \left ( a_{0}+a_{1}\varepsilon \right )}{\mathrm{d} \varepsilon}= a_{1} \quad \quad-----\left (1\right )$$

Para integrar utilizaremos las reglas de Berezin que permiten integrar estas variables:

$$\int \mathrm{d} \varepsilon =0$$

$$ \int \mathrm \varepsilon{d} \varepsilon=1$$

Entonces, basta aplicarlas para obtener:

$$\int f\left ( \varepsilon \right ) \mathrm{d} \varepsilon = \int \left ( a_{0}+a_{1}\varepsilon \right ) \mathrm{d} \varepsilon= a_{0} \int \mathrm{d} \varepsilon + a_{1} \int \mathrm\varepsilon{d} \varepsilon  = a_{1} \quad \quad-----\left (2\right )$$

Como se puede observar de $\left (1\right )$ y $\left (2\right )$: 

$$\int f\left ( \varepsilon \right ) \mathrm{d} \varepsilon = \frac{\mathrm{d} f\left (\varepsilon \right )}{\mathrm{d} \varepsilon}$$

Más allá de lo entretenido y exótico de esto, resulta que las variables de Grassmann permiten modelar el comportamiento de ciertas partículas elementales de spin semientero, llamadas fermiones. Pues la función de onda, que nos da información sobre la probabilidad de que esta partícula o un conjunto de ellas tengan ciertas características, debe ser cero, si  dos o más fermiones tienen el mismo estado.Y las reglas de cálculo que hemos visto son de gran utilidad para trabajar de forma adecuada con las matemáticas (integrales de camino de Feynman) asociadas a esto y que aquí poco a poco iremos deshebrando.