Criterios de divisibilidad

La mayoría de los estudiante sienten una aversión natural hacia los números, y digo natural porque no resulta nada atractivo pasar gran parte de nuestra infancia aprendiendo a lidiar con ellos en procedimientos que los maestros  aseguran que serán de utilidad, pero que de momento no tienen sentido.

Y aunque los números esconden curiosidades sorprendentes y propiedades que nos permiten sacarle la vuelta a los algoritmos tediosos, ese rostro amable permanece vedado para miles de niños y jóvenes que crecerán odiando a las mates, asociándolas con la obligación de memorizar  cosas que proporcionan buenas calificaciones.

Aunque no sea evidente, las propiedades de los números son más importantes que las operaciones que podamos hacer con ellos. En entradas anteriores hemos hablado sobre los divisores, hemos aprendido a contarlos y a encontrarlos. El único recurso que tenemos para garantizar que cierta cantidad divide a otra es mediante el procedimiento habitual, se divide y checamos si hay residuo. Si es necesario el uso de decimales para la división nos encontramos ante un NO divisor. 

Afortunadamente, en la educación secundaria (por lo menos en México)  aparecen como parte del programa, los criterios de divisibilidad (entre 2, 3 y 5), estos son de gran utilidad para factorizar un número, simplificar una fracción, encontrar el Máximo Común Divisor, el Mínimo Común Múltiplo de una conjunto de enteros o al resolver algunos problemas de olimpiadas.

Un criterio de divisibilidad es una condición que debe cumplir cierto número para que otro lo divida en partes enteras, proporcionando un mecanismo para encontrar divisores sin realizar la división.

Comenzamos enumerando los casos más sencillos:

Un número es divisible: 

• Entre dos, si la cifra de las unidades es  par (recordar que el cero es par). De acuerdo con esto, $76458$ es divisible entre $2$ y $46805$ no.
• Entre tres, si al sumar sus dígitos obtenemos un múltiplo de tres.  Para saber si $8273544$ es divisible entre tres, sumamos sus dígitos $8+2+7+3+5+4+4=33$, como $33$ es múltiplo de $3$ entonces si es. Por otro lado, $8752$ no es divisible entre $3$ ya que $8+7+5+2=22$, y $22$ no es múltiplo de $3$
• Entre cuatro, si el número formado por las dos últimas cifras (comenzando de izquierda a derecha) es múltiplo de cuatro.Tenemos que enfocarnos en las decenas y unidades. El número $998716$ es divisible entre cuatro porque las últimas dos cifras $16$, forman un múltiplo de cuatro.
• Entre cinco, si la cifra de las unidades es cero o cinco. Por lo tanto, $213870$ y $983785$ son divisibles entre cinco, pero $6765554$ no.
• Entre nueve, si la suma de sus dígitos es múltiplo de nueve. Probamos con $873464$, vemos que $8+7+3+4+6+4=32$ y como $32$ no es múltiplo de $9$ el número inicial no es divisible entre nueve. Por otro lado $67482$ si es, ya que $6+7+4+8+2=27$ y $27$ es múltiplo de $9$.
• Entre once si al sumar los dígitos en posicion par, luego los de posición impar y al restar los resultados obtenemos un múltiplo de once. Si  queremos saber si $1763592$ es divisible entre once, sumamos los dígitos en posición impar (de izquierda a derecha, la primera, tercera, quinta, etc.) $1+6+5+2=14$ y las de posición par (segunda, cuarta, etc.) $7+3+9=19$, luego restamos $19-14=5$. Como no obtuvimos un múltiplo de once, el número no es divisible entre once. Pero $37147$ si es, ya que: $3+1+7=11$ y $7+4=11$ y $11-11=0$ (múltiplo de once),

Como el Teorema fundamental de la Aritmética afirma (entre otras cosas) que todo número mayor que uno es primo o producto de primos,  se expondrá a partir de aquí, unicamente criterios de números primos.

Los demás se pueden deducir a partir de un teorema que garantiza que si  los factores (primos entre sí) de  $b$ dividen al entero $n$, entonces $n$ es divisible entre $b$. Si queremos demostrar que un número es divisible entre $6$, basta demostrar que es divisible entre $2$ y $3$, ya que estos son factores de $6$. Recordando que los factores no deben tener divisores comunes, por ejemplo: 18 es divisible entre 6 y 2, pero no lo es entre 12.

Como los criterios son bastantes similares,  en lugar de enumerarlos todos (cosa que sería imposible) vamos deducir la regla general, nomás por el puro placer de hacerlo.

Partimos de un número $N$ y queremos saber si es divisible entre un primo $P$, para esto separamos la cifra de las unidades. Si la cantidad tiene $a$ unidades y $b$ es el número que queda al suprimirlas, tenemos: $$N=10b+a  ----------(1)$$

Como ejemplo vemos que si $N=65239$, entonces, $b=6523$ y $a=9$ y se cumple que $N=10b+a$.

Ahora buscamos un multiplo de $P$ que se acerque (por arriba o por abajo) a un múltiplo de $10$. Si el $k$-ésimo múltiplo de $P$ se acerca al $m$-ésimo múltiplo de $10$. Multiplicamos la ecuación $(1)$ por $m$ y restamos  $kPb$ a ambos miembros, obteniendo esto: 

$$mN-kPb=10b-kPb+ma  --------(2)$$

Esta última ecuación será de utilidad para encontrar el criterio buscado (en ocasiones es necesario multiplicarla por menos uno).

Vamos a aplicar el procedimiento para $P=7$. El tercer ($k=3$) múltiplo de $7$ es $21$ y está próximo al segundo ($m=2$) múltiplo de $10$ que es $20$. Multiplicamos la ecuación $(1)$ por $m=2$, nos queda:

$$2N=20b+2a  --------(3)$$

Restamos $kPb=21b$ a ambos lados:

$$2N-21b=20b+2a-21b=-b+2a  --------(4)$$

Multiplicando esta última por menos uno tenemos:

$$21b-2N=b-2a  ---------(5)$$

De aquí observamos que si $b-2a$ (el número que queda al suprimir las unidades menos el doble de estas) es múltiplo de $7$ entonces $N$ tambien lo es, de otra forma no obtendríamos el factor $7$ necesario. Si  no estamos seguros de que la cifra obtenida sea multiplo de siete, el proceso se repite hasta encontrar una cantidad que sepamos con certeza, si es o no múltiplo de siete. Si queremos demostrar que $182$ es divisible entre siete, vemos que $b=18$ y $a=2$. Como: $$b-2a=18-4=14$$ es múltiplo de siete, entonces $182$ es divisible entre siete.

Por último vamos a determinar el criterio de divisibilidad entre 23. El tercer ($k=3$) múltiplo de $23$, $69$ se acerca al séptimo ($m=7$) múltiplo de $10$ que es $70$, por lo tanto multiplicamos la ecuacion $(1)$ por $m=7$.
$$7N=70b+7a  --------(6)$$
Restamos a ambos lados $kPb=69b$:
$$7N-69b=70b+7a-69b=b+7a  --------(4)$$
Por lo tanto $N$ es divisible emtre 23 si la suma del número que queda al suprimir las unidades y siete veces estas, lo es. Este proceso también es recursivo hasta encontrar un número que evidentemente sea múltiplo de 23 (o que no lo sea).

Algunos dirán que esto no sirve para nada, pero díganselo a quien construyó el siguiente grafo que sirve para verificar si un número es divisible entre siete y además nos da el residuo de dividir entre esa cantidad. Me lo encontré en Gaussianos pero  fue extraido de El blog de Tanya Khovanova .

Funciona de la siguiente manera: se parte del cero avanzando tantas  flechas negras como lo indique la primera cifra (de izquierda a derecha) y seguimos  la flecha blanca del círculo azul al que hemos llegado. Observamos la segunda cifra y repetimos, continuamos de esa manera hasta agotar los dígitos, el número al que nos lleve la cifra de las unidades será el residuo de dividir entre siete (en esta última ignoramos la flecha blanca). 

Si queremos saber si $4765$ es divisible entre siete, nos ubicamos en el cero y avanzamos cuatro (primera cifra de la izquierda) flechas negras, llegamos al cuatro, seguimos la flecha blanca que nos lleva hasta el cinco; de ahí seguimos siete (segunda cifra) flechas negras y volvemos al cinco, la flecha blanca nos manda al uno, de ahí caminamos seis (tercera cifra) flechas negras hasta el cero y por indicación de la flecha blanca nos quedamos ahí; por último nos movemos cinco (cifra de las unidades y última) flechas negras y paramos en el cinco, esta cantidad es el residuo de dividir 4765 entre 7, por lo tanto no es divisible. Para  ser divisible el residuo debe ser cero, por lo tanto la condición para ser divisible entre entre es llegar al lugar de donde salimos (el cero).

Esto puede no tener aplicaciones en la vida cotidiana, pero es una genialiadad que merece ser compartida.