Cómo enseñar Matemáticas sin morir en el intento I

Si lees esto buscando técnicas para que tus alumnos puedan asimilar los aprendizajes esperados, no creo que encuentres lo que estás buscando. Este trabajo trasciende ese propósito; la matemática de la que trata no es el conjunto de conocimientos ya hechos que hay que aprender para obtener la nota escolarmente apropiada. Se refiere a ese edificio teórico en constante crecimiento, que no respeta al sentido común, que se reinventa en cada concepto y que se especializa en resolver problemas aunque no aporten nada al bagaje de conocimientos inmediatamente útiles.

En otras palabras, este ensayo no proporciona mecanismos para que tus alumnos aprendan cómo elevar un binomio al cuadrado, ni estrategias para memorizar el teorema de Pitágoras o resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, pues el hecho de que logren memorizar las fórmulas o procedimientos de marras, no es suficiente para garantizar que saben matemáticas.

Supongamos que lograste que puedan realizar esto: $${ \left( 3{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 5 } \right)  }^{ 2 }$$

Y encontrar el valor de x en la siguiente figura:

O en la ecuación:

$$4x-8=24$$ 

¿Crees que puedan resolver lo siguiente?:

Problema 1. En la figura hay dos círculos de radio 12, tangentes entre sí e interiormente a un círculo de radio 24. Además, hay un círculo de radio menor tangente a cada uno de estos tres círculos. ¿Cuánto mide el radio del círculo más pequeño?

Más allá de los conceptos que implica (tangente, radio, etc.) encontrar la solución de la pregunta planteada no suele ser fácil para los alumnos (y de hecho tampoco para muchos docentes). Sin embargo, lo único que se requiere para tal propósito es: el teorema de pitagoras, elevar un binomio al cuadrado  y saber resolver una ecuación lineal de primer grado. 

 

La cuestión es ¿cómo saber qué procedimiento seguir? Un buen problema, de entrada debe dejarnos  la sensación de que hay varios caminos (o ninguno) para resolverlo y no revelar pistas sobre cual es el mejor. Por lo tanto, una pregunta fundamental es: ¿cómo desarrollar en nuestros estudiantes una intuición que los lleve a abordar problemas y a utilizar conceptos en contextos poco habituales?

Para responder esta pregunta resolveremos el problema anterior. Una forma de hacerlo es ubicar un triángulo con vértices en los centros de los círculos, grande, mediano y chico; como se obseva en la siguiente figura:

Y aquí está el meollo del asunto, qué debemos hacer para que a nuestros alumnos se les ocurra hacer algo así, es más, qué proceso mental me llevo a mi, a concebir la idea de un triangulo. Paul Lockhart en Lamento de un Matemático aborda esto de la siguiente manera “¿de donde vino mi idea?...”  Posteriormente relaciona esta experiencia con la creación artistica “¿Cómo sabe un pintor dónde aplicar su pincel? Inspiración, experiencia, prueba y error,... Estaba ciego, y de repente vi. De algún modo, fui capaz de crear belleza, profunda y simple, de la nada, transformándome a mí mismo en el proceso. ¿No es este el sentido del arte?...” Y concluye tajantemente “He aquí la razón por la que es tan descorazonador contemplar lo que se está haciendo con las matemáticas en la escuela. Esta rica y fascinante aventura de la imaginación ha sido reducida a un conjunto estéril de «hechos» para memorizar y de procedimientos para seguir.”

Una vez abstraido el triángulo podemos representarlo con las dimensiones que el enunciado del problema permite obtener.

     

Y después de unos cuantos argumentos (para demostrar que es un triángulo rectángulo) aplicamos el teorema de Pitágoras:

$${ \left( 12+r \right)  }^{ 2 }={ 12 }^{ 2 }+{ \left( 24-r \right)  }^{ 2 }$$

Desarrollamos los binomios al cuadrado:

$$144+24r+{ r }^{ 2 }=144+576-48r+{ r }^{ 2 }$$

Simplificando y reacomodando obtenemos:

$$72r=576$$

Por lo tanto:

$$r=8$$

Este problema resuelto nos da las primeras lecciones:

•     Hay que dejar de ver a las matemáticas como una fría ciencia y concebirla como un arte, permitir que nuestros educandos, además de la razón, puedan utilizar su capacidad de imaginar. 
•     Resolver problemas implica ver cosas donde aparentemente no están y aventurar ideas por el mero afán de romper la desbordante blanquedad de la página (como el poeta o el novelista).

Va otro ejemplo. 
 

Problema 2. Qué fracción del área del siguiente cuadrado está pintada de azul:

Una forma de resolverlo es: por el punto que es vértice común a los triángulos azules (y tambien a los blancos), trazamos dos segmentos de la misma longitud que los lados del cuadrado y paralelos a estos.

 

    

Y otra vez lo mismo, dos trazos que no estaban y colocados en el lugar adecuado nos abren una perspectiva que nos permite resolver el problema. El cuadrado queda dividido en cuatro rectangulos cada uno con dos triángulos iguales, uno blanco y uno azul. Por lo tanto podemos afirmar que la parte azul cubre exactamente la mitad del área total.

También podemos resolverlo algebraicamente. Como no sabemos la longitud del lado del cuadrado la llamaremos $x$ y su área total es ${ x }^{ 2 }$. 

Tenemos además dos triangulos:

    

Los dos con base igual a $x$ y alturas h₁ y h₂ respectivamente, por lo tanto sus áreas son: ${ A }_{ 1 }=\frac { x{ h }_{ 1 } }{ 2 } $ y ${ A }_{ 2 }=\frac { x{ h }_{ 2 } }{ 2 }$

      

Si las sumamos tenemos el área azul total:

$${ A }_{ at }=\frac { x{ h }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { x{ h }_{ 2 } }{ 2 } =\frac { x\left( { h }_{ 1 }+{ h }_{ 2 } \right)  }{ 2 } $$

¿Qué pasó aquí? ¿por qué se factoriza? En principio porque es posible, pero en realidad se busca simplificar la expresión para ver que información relevante se puede obtener. 

Esta es otra de las deficiencias de la enseñanza actual de las matemáticas, los “buenos alumnos” saben seguir instrucciones, si en el enunciado dice, factoriza, desarrolla, divide, encuentra el valor de $x$, de la hipotenusa, del cateto, o cualquier otra indicación precisa, lo pueden hacer. Pero  jamás se aventuran (ni siquiera algebraicamente) por caminos desconocidos.

¿Obtuvimos información relevante? Si, en la expresión final del área azul total aparece la suma de las alturas y de la figura se observa que:   

$${ h }_{ 1 }+{ h }_{ 2 }=x$$ 

          

Por si lo dudan aquí está más claro:

La suma de las alturas es igual a la longitud del lado del cuadrado. Establecer esta relación es muy importante y en ocasiones a los alumnos se les dificulta hacerlo. Una vez descubierto esto:

$${ A }_{ at }=\frac { x\left( { h }_{ 1 }+{ h }_{ 2 } \right)  }{ 2 } =\frac { xx }{ 2 } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } $$

Lo que significa que el área azul total es la mitad del área del cuadrado.

Este problema nos deja nuevas lecciones:

•  Tenemos que lograr que nuestros alumnos utilizen las herramientas que han aprendido (y de ser necesario y posible, generar las propias) en el lugar que les plazca y a la hora que quieran, sin necesidad de que una instrucción se los diga.
•  Es importante buscar relaciones —que no estén explicitamente en el enunciado— entre las variables y trabajar con ellas algebraicamente sin miedo, lo peor que puede pasar es que no nos lleve a ningún lado. 

Para terminar esta parte es bueno recalcar que para resolver un problema se debe —además de utilizar la imaginación, el razonamiento y todas las herramientas disponibles— perder el temor a equivocarnos y saber manejar la frustración de no encontrar la solución de manera inmediata. La historia de las matemáticas esta llena de problemas que han resistido siglos y de otros que siguen esperando una idea genial o herramientas nuevas para sucumbir y abrir nuevas interrogantes que sigan motivando y maravillando a las nuevas generaciones que se encargarán de hacer crecer este universo teórico. Si no transmitimos esa libertad para experimentar ideas y conjeturar soluciones sin temor a que algo salga mal, no estamos enseñando matemáticas de la forma correcta.