Divisores de un número y el principio fundamental del conteo

En la entrada ¿cuántos divisores tiene un número? vimos que para responder esa pregunta debemos descomponer el número en factores primos, poner énfasis en los exponentes que aparecen, sumar la unidad a cada uno y multiplicar esos resultados. 

Si queremos saber cuántos divisores tiene el 1800, lo factorizamos $2^{3}3^{2}5^{2}$, nos enfocamos en los exponentes, $3$, $2$ y $2$, les sumamos  uno, $3+1$, $2+1$ y $2+1$. Por último multiplicamos los resultados:

$$\left ( 4 \right )\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )=36$$ 

Hay 36 divisores. El procedimiento es sencillo, pero  ¿por qué sumar uno? Para responder esto vemos que cada uno de los primos que aparecen en la factorización es un divisor de 1800, pero también todos los productos de potencias de estos con la condición de que el exponente sea mayor o igual a cero y menor o igual al que aparece en la descomposición.

En el caso del 1800, los divisores se encuentran poniendo exponentes en el siguiente esquema:

En la descompocisión el 2 aparece con exponente 3, por lo tanto las opciones para llenar el cuadro blanco son: $0$, $1$, $2$ y $3$. Y en general si el exponente es $n$ los números $\alpha$ que podemos poner en cuadro blanco deben cumplir con $\alpha\geq 0$  y  $\alpha\leq n$ que en total son $n+1$.

Cuando respondemos a la pregunta de cuántos divisores hay, estamos utilizando el principio fundamental del contéo, este dice que si una actividad se puede realizar de $n$ formas y por cada una de ellas otra actividad se realiza se $m$ maneras, en total, ambas actividades se realizan de $n$ por $m$ formas.

En nuestro ejemplo, la actividad de encontrar los divisores del 1800 consiste en llenar los tres cuadros blancos. Partiendo de la descomposición $2^{3}3^{2}5^{2}$

• Como el exponente del $2$ es $3$, tenemos $4$ maneras de llenarlo.
• El exponente del $3$ es $2$, esta actividad la podemos hacer de $3$ maneras.
• Para el $5$ el exponente es $2$ y tenemos $3$ formas. 

Por lo tanto, hay que multiplicar $\left ( 4 \right )\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )=36$ y obtenemos el resultado conocido.

El principio fundamental del conteo responde a la pregunta ¿cuántos? pero no a ¿cuáles?, estas última puede aclararse con el diagrama de árbol. Para explicarlo vamos a partir del mismo ejemplo con el que comenzamos.

Tenemos tres números primos en la factorización, el diagrama de arbol reserva una columna pra cada uno. En ellas aparecen las potencias permitidas. Para el dos tenemos:

Para cada una de estas opciones tenemos un tres con exponentes de cero a dos:

Por último está la columna para las potencias del cinco:

Y esto es todo, lo que resta es seguir cada una de las ramas del árbol comenzando en una potencia de dos y finalizando en una de cinco, el productos de estas, nos dan todos los divisores, como ejemplo tomaremos las ramas que comienza con $2^{0}$.

Finalizamos con un ejemplo más, ¿cuales son los divisores de $60$? Descomponemos, $2^{2}*3*5$, los exponentes indican que hay tres posibilidades para las potencias de dos, y dos para las de tres y cinco, por el principio fundamental de contéo tenemos $(3)(2)(2)=12$ divisores. Por lo tanto:

Como puede observarse, los divisores de $60$ son: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30$ y $60$.