¿Cuántos divisores tiene un número?

Obviamente la respuesta  depende de cada número. Pero lo que intentamos es, buscar una respuesta general que se pueda aplicar en todos los enteros.

Primero aclararemos lo siguiente: un entero es divisor de otro, si al dividir este, entre el primero; el residuo es cero y el cociente, entero. Formalmente se dice que $a \mid b$ ($a$ divide a $b$) si existe un entero $n$  tal que $b = na$.

Como es probable  que no hayas entendido nada, vamos a comenzar desde el principio. Todo número se puede factorizar, es decir, descomponer en partes llamadas factores. Por ejemplo el 20.

Se puede descomponer de la siguiente manera: 

Cada parte se puede ensamblar para regresar a la cantidad factorizada. La acción de ensamblar se relaciona con la operación de multiplicar. En otras palabras, los factores al multiplicarse dan como resultado la cantidad inicial (4 X 5 = 20). Esta acción se puede continuar con cada factor, en nuestro ejemplo, uno de los factores del 20 (el cuatro) se puede descomponer. El otro no, pues la unica multiplicación que da cinco es 5 por 1, pero esto no nos sirve pues una de las partes es igual al total. Por lo tanto la descomposición completa del 20 es:

Esos números que ya no se pueden descomponer se llaman Primos y además de ser muy importantes son una fuente de misterio inagotable dentro de las Matemáticas. Hay un número infinito de ellos (teorema de Euclides), aqui te presentamos los menores de 30. $$P= \left \{ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,... \right \}$$. 

Vamos a poner otro ejemplo, comenzamos con el

   

Lo descomponemos:

Factorizamos el 90:

Reacomodamos las piezas para hacer más fácil las siguientes particiones.

Descomponemos el 45:

Por último el 15 para obtener la factorización completa (generalmente llamada canónica) :

El teorema fundamental de la Aritmética afirma que todo entero mayor que uno, es primo o el resultado de productos de primo. En el caso del 180: $$180= 2\times 2\times 3\times 3\times 5$$ o de otra manera: $$180= 2^{2}\times 3^{2}\times 5^{1}$$.

El exponente indica cuántas veces aparece cada número primo.

De manera general podemos decir que para cada entero N mayor que uno, existen k números primos y k exponentes enteros positivos tales que: $$N= P_{1}^{\alpha _{1}}\times P_{2}^{\alpha _{2}}\times ...\times P_{k}^{\alpha _{k}}$$

Para el 180, $k=3$, hay tres primos ($P_{1}= 2, P_{2}= 3, P_{3}= 5$) y tres exponentes ($\alpha _{1}=2, \alpha _{2}= 2, \alpha_{3}=1$)

Para el 20:

$$20= 2^{2}\times 5^{1}$$

k=2, hay 2 primos ($P_{1}= 2, P_{2}= 5$) y dos exponentes ($\alpha _{1}=2,  \alpha _{2}= 1$)

Ahora estamos en condiciones de responder la pregunta inicial.

Para saber cuántos divisores tiene un número:

Primero: lo descomponemos en factores primos. $$N= P_{1}^{\alpha _{1}}\times P_{2}^{\alpha _{2}}\times ...\times P_{k}^{\alpha _{k}}$$

Segundo: Sumamos uno a cada exponente.

Tercero: Multiplicamos estos resultados. 

Núm. de divisores $= \left ( \alpha _{1}+1 \right )\left ( \alpha _{2}+1 \right )...\left ( \alpha _{k}+1 \right )$

En los casos que hemos tratado:

$$20= 2^{2}\times 5^{1}$$

Los exponentes son 2 y 1, por lo tanto:

Núm. de divisores $= \left (2+1 \right )\left ( 1+1 \right )= \left ( 3 \right )\left ( 2 \right )= 6$

$$180= 2^{2}\times 3^{2}\times 5^{1}$$

Los exponentes son 2, 2 y 1, por lo tanto:

Núm. de divisores$= \left (2+1 \right )\left ( 2+1 \right )\left ( 1+1 \right )= \left ( 3 \right )\left ( 3 \right )\left ( 2 \right )= 18$

Por último, aplicaremos el método para un nuevo número:

¿Cuántos divisores tiene el 120?

Su descomposición en factores primos es: $$120= 2^{3}\times 3^{1}\times 5^{1}$$

Los exponentes son: 3, 1 y 1. Por lo tanto:

Núm. de divisores$= \left ( 3+1 \right )\left ( 1+1 \right )\left ( 1+1 \right )= \left ( 4 \right )\left ( 2 \right )\left ( 2 \right )= 16$