¿Por qué menos por menos es más? I

Una de las características más interesante de las matemáticas es su anti-intuitividad, o dicho de otra manera, su facilidad para convencernos de que el sentido común no alcanza para explicar muchos de sus resultados. Ejemplos hay muchos y no es necesario buscarlos en las matemáticas superiores, basta revisar nuestros rudimentarios conocimientos de secundaria para encontrar uno. 

En esta entrada vamos a enfocarnos a las leyes de los signos en la multiplicación. Definitivamente una de las pocas cosas que muchos recuerdan de sus clases de matemáticas es que:

 $(+)(+)=+$ (Más por más es más)

 $(+)(-)=-$ (Más por menos es menos)

 $(-)(+)=-$ (Menos por más es menos)

 $(-)(-)=+$ (Menos por menos es más)

Las primeras tres parecen no generar confución, sobre todo si nos apegamos a la noción de multiplicación de $(a)(b)$ como "a veces b"  de tal forma que:

$(2)(3)=6$ (dos veces tres es igual a seis)

$(2)(-3)=-6$ (dos veces menos tres es igual a menos seis)

Sin embargo, aunque poco se pregunta, no es tan sencillo entender:

$(-2)(3)=-6$ (menos dos veces tres es igual a menos seis)

¿Qué significa menos dos veces tres?  No importa, tenemos la propiedad de conmutatividad (sí, esa que dice que el orden de los factores no altera el producto) que nos permite sortear esta disertación filosófica, por lo tanto:

$(-2)(3)=(3)(-2)=-6$ (cambiamos menos dos veces tres por tres veces menos dos y ¡listo!, es igual a menos seis)

El problema surge con la última:

$(-2)(-3)$ (menos dos veces menos tres)

Aquí no hay conmutatividad que nos salve, así que vamos a buscar por otro lado. De entrada podemos extrapolar esto a la lógica donde un conocido resultado nos dice que  la doble negación es una afirmación.  Si no estás familiarizado con él, vamos a ejemplificarlo de la siguiente manera:

Si digo que "no es cierto que no voy a ir al cine" lo que realmente estoy diciendo es que sí voy a ir. Negar un no, implica decir que sí.
Por lo tanto si la doble negación es una afirmación por qué causa tanto problema entender  que, menos por menos sea más. La dificultad para transitar de la lógica a la multiplicación radica en que no hay nada que relacione las distintas combinaciones de noes y sies con el producto de dos números.

Por lo tanto vamos intentar retomar algunas ideas sobre la multiplicación de diferentes matemáticos y a partir de ellas demostrar que, al multiplicar dos números negativos obtenemos uno positivo.

Para D’Alembert (1717-1783)  multiplicar por un número negativo significa sustraer tantas veces  el otro factor, como indica esa cantidad. De otra manera:
$(2)(3)$ (poner 2 veces 3)
$(2)(-3)$ (poner 2 veces -3)

$(-2)(3)$ (quitar 2 veces 3)
$(-2)(-3)$ (quitar 2 veces -3)

Para ver qué sucede vamos tomar círculos azules para representar a la unidad positiva y rojos para la negativa, de esta manera podemos expresar números como se ve a continuación:

Fig. 1

Cabe mencionar que el cero se puede representar colocando la misma cantidad de círculos rojos y azules. Ahora vamos a ver cuales son los resultados de poner y quitar círculos partiendo de cero:

                                                   $(2)(3)$ (poner 2 veces 3 círculos azules)

Fig. 2

                                                  $(2)(-3)$ (poner 2 veces 3 círculos rojos)

Fig. 3

Cuando el primer factor es menos, surge una complicación, si partimos de cero círculos, ¿cómo podenos quitar? Fácil, formando el cero con la combinación adecuada de círculos rojos y azules. Para:

                                                 $(-2)(3)$ (quitar 2 veces 3 círculos azules)

Tomamos el cero de la siguiente manera:

Fig. 4

Y quitando dos veces tres azules nos queda:

Fig. 5

Por último:

                                              $(-2)(-3)$ (quitar 2 veces 3 círculos rojos)

Si tomamos el cero de la Fig. 4 y quitamos 2 veces 3 círculos rojos obtenemos:

Fig. 6

 ¡Un resultado positivo! Lo cual demuestra que menos por menos nos da más.