Racionalandia I

Racionalandia es la tierra donde habitan los números racionales, un vistazo rápido y descuidado a este mundo puede ser engañoso, a simple vista podemos observar  que allí viven tres clases de entes: los enteros, las fracciones y los decimales. Sin embargo, si nos  internamos poco a poco en este ecosistema matemático podemos descubrir varias cosas interesantes.

Como cualquier persona sensata lo sabe, los números racionales son la representación (fracción o quebrado) o el resultado (entero o decimal) de la divisiones entre números enteros. Por ejemplo, la división de uno entre dos, se representa $\frac{1}{2}$, el dividendo: $1$, se llama numerador; y el que divide: $2$, denominador.

Pero si observamos bien, la división de uno entre dos, también puede escribirse como $0.5$ (su resultado), y la división de diez entre cinco $(\frac{10}{5})$, puede escribirse como $2$. Lo cual significa que en el mundo de los números racionales, no existen en realidad tres tipos de entes, sino uno y  adopta distintas formas según su vida social. Por ejemplo $\frac{1}{2}$ no se puede disfrazar únicamente de $0.5$ , en un día de fiesta puede ponerse guapo y lucir cualquiera de los siguientes atuendos: $0.50$, $0.500$, y tantos ceros como su economía se lo permita (eso de los accesorios de moda puede salir caro).

Entonces en este extraño mundo podemos encontrar (dependiendo de su estado de ánimo) enteros, fracciones y decimales (pero no cualquier decimal, aquí no hay cabida para esos caóticos y desvergonzados que gustan de extenderse indefinida y aperiódicamente).

Por ejemplo: el número $34.127232323232323\ldots$ (donde los veintitrés se repiten parasiempremente) es racional, la parte que aparece un número infinito de veces se llama periodo y los decimales que se encuentran antes del periodo se conocen, misteriosamente, como anteperiodo (alguien me podría explicar por qué). Pero así como las mujeres se recogen el pelo por cuestiones estéticas, los racionales suelen recogerse el periodo y tomar la apariencia siguiente $34.127\overline{23}$ (fiu fiu, eso es elegancia), la línea horizontal señala al periodo e indica que eso se repite  sin cesar. 

Por otra parte el número $5.57242358975248\ldots$ donde no hay una secuencia de decimales periódica, no es racional. ¿Qué implica esto? pues que está incapacitado para convertirse en fracción y que no es el resultado de la división de dos enteros. Estos números que no son racionales, forman parte otro mundo numérico llamado (vean que originalidad): Irracionalandia (donde viven los números irracionales).

Entonces podrán decir, en los números decimales, para reconocer un racional de un irracional basta observar si tiene periodo o no. Pues sí, pero no siempre es sencillo, existen número racionales con un anteperiodo o periodo muy largo y ahí entre ellos pueden colarse los irracionales, en estos casos la única forma de discernir cuál es cuál es formarlos  como se muestra:

\[\begin{array}{cccc} 2.2894736842\ldots & 1.0588235294\ldots & 1.0526315789\ldots & \cdots \\ 1.0212765957\ldots & 5.6271038219\ldots & 1.0322580645\ldots & \cdots \\ 1.069767441860\ldots & 1.0377358490\ldots & 1.0126582278\ldots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \]

Y exigirles con determinación: Posición de fracción, ¡ya!

\[\begin{array}{cccc} \frac{87}{38} & \frac{18}{17} & \frac{20}{19} & \cdots \\ \frac{48}{47} & 5.6271038219\ldots & \frac{32}{31} & \cdots \\ \frac{46}{43} & \frac{55}{53} & \frac{80}{79} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \]

Así podemos encontrar al intruso debido a su imposibilidad para efectuar tal transformación

Racionalandia es pues, el país donde viven todos los resultados de dividir dos enteros y y esta división pueden tomar diversas apariencias, por lo tanto para evitar ser engañados por estos fantásticos seres, es bueno saber su secreto. ¿Cuál es el mecanismo en estas transformaciones?

Para convertir de fracción a decimal, solo realizamos la división del numerador entre el denominador, pero cabe recordar que en este proceso puede pasar una de tres cosas:

• Los decimales se terminan, es decir tenemos un desarrollo decimal finito (al hacer la división llega un momento que el residuo es cero)
  
• Los decimales se extienden indefinidamente pero se repiten cíclicamente (al hacer la división nunca encontramos un residuo igual a cero). Tenemos un desarrollo decimal periódico puro. Este conjunto de decimales que aparece una y otra vez se llama periodo y se señala con una línea horizontal superior.
  
• Los decimales se extienden indefinidamente pero no todos se repiten, existe un pequeño grupo de ellos ubicados inmediatamente después del punto que no forman parte del periodo (llamado, anteperiodo). Tenemos un desarrollo decimal periódico mixto.
   
  
  
  
  

Sin embargo, existe una manera de saber qué tipo de desarrollo decimal proporciona una fracción sin realizar la división, para esto debemos cerciorarnos que la fracción sea irreducible, es decir, que numerador y denominador no tengan divisores comunes, o de otra forma, que sean primos relativos.

Una vez que la fracción cumpla este requisito, debemos descomponer el denominador en factores primos y tomar en cuenta lo siguiente:

• Si unicamente hay 2 y/o 5, el desarrollo decimal es finito. Ejemplo, $\frac{9}{4}$, 9 y 4 son primos relativos (el único divisor común es 1) y el denominador descompuesto es 4= (2)(2), el único factor es 2, por lo tanto el desarrollo decimal es finito.
• Si no hay 2 ni 5, el desarrollo decimal es infinito periodico puro. Ejemplo, $\frac{122}{21}$, la fracción es irreducible y la factorización completa de denominador es 21= (3)(7), no hay 2 ni 5, el desarrollo decimal es infinito periódico puro.
• Si hay 2 y/o 5 con otro primo (distinto de 2 y 5), el desarrollo decimal es infinito periódico mixto. Ejenplo, $\frac{11}{35}$, la fracción no puede reducirse y los factores de 35 son 5 y 7 (un primo que no es 2 ni 5), por lo tanto el desarrollo decimal es infinito periodico mixto.

Aún quedan grandes secretos por revelar de este paradisíaco lugar pero los dejaremos para la próxima entrada.