Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 28 de septiembre.

¡TODO EN LA MISMA PROPORCIÓN!

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de proporcionalidad inversa y de reparto proporcional.

ÉNFASIS

Enunciar las características de la proporcionalidad directa, mediante uso de una tabla, de la expresión algebraica y de la constante de proporcionalidad

Vamos a comenzar enumerando las características de la proporción directa:

1. Las variables crecen o disminuyen en la misma proporción. Si una de ellas se triplica la otra cambia igual y si una de ellas se reduce a la mitad, la otra también.
2. Las dos variables son cero al mismo tiempo, es decir, si una de ellas es cero, la otra también.
3. Al dividir una entre la otra siempre obtenemos la misma cantidad.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$y=kx$$

$$x=ky$$  

$$\frac{y}{x}=k$$

$$\frac{x}{y}=k$$ 

Estas  propiedades nos permiten identificar si una tabla de variación es es una proporcionalidad directa.

Esta tabla de variación no es de proporción directa porque cuando la $x$ es cero, la $y$ no y en este tipo de proporcionalidad ambas deben ser cero al mismo tiempo.

 

 

Este tabla tampoco representa una relación de proporcionalidad directa, porque al dividir cada valor de $y$ entre su respectivo valor de $x$ no obtenemos lo mismo.

                             

Esta si es de proporción directa, lo podemos ver de dos formas: la primera al darnos cuenta que al dividir cada valor de $y$ entre su correspondiente valor de $x$ siempre obtenemos 6 y la segunda porque al duplicar el valor de $x$ se duplica el de $y$, al doble de 3 que es 6. le corresponde el doble de 18, que es 36. Ademas al tripli de 2, que es 6, le corresponde el triple de 12 que es 36.

 Vamos ver algunos ejemplos:

 

Victor fue con su familia de vacaciones a la playa, al llegar al hotel observan que el costo de la habitación familiar es de $650 por noche, si desean hospedarse durante 5 noches, ¿cuál será la cantidad total que deberán pagar?

Con esta información se elabora una tabla.

Se puede observar que es una proporción directa pues al duplicar los días se duplica el costo, lo mismo pasa al cuadriplicarlos.

 

 La forma algebraica más común es $y=kx$, donde $x$ es la variable independiente y $y$ la variable dependiente. En la tabla anterior la variable dependiente es el costo porque depende del número de días.

La constante de proporcionalidad se encuentra dividiendo la variable dependiente (en este caso el costo) entre el respectivo valor de la variable independiente (número de días), $k=\frac{y}{x}$. 

 $$\frac{2600}{4}=650$$

  $$\frac{1950}{3}=650$$

En este caso, el resltado es $650$ por lo cual la expresión algebraica es:

$$y=650x$$

La constante de proporcionalidad también nos la da, la tabla. Es la que está asociada con el valor unitario de la variable independiente (en este caso, los días). Por un día se cobran 650 pesos, entonces $k=650$

Un último ejemplo:

Kingda Ka es la montaña rusa más alta del mundo, Está situada en el parque de diversiones en Jackson, Nueva Jersey, Estados Unidos. Tiene una longitud de 950 metros. ¿Cuántos metros se recorren en 2, 3, 4, y 5 vueltas.

Podemos hacer otra tabla, sabiendo que por cada vuelta se van sumando 950 metros, por lo tanto en dos vueltas se multiplica 950 por dos, en tres vueltas, por tres, etc. 

Como los metros dependen de las vueltas, estos serán la $y$ (variable dependiente) y las vueltas, la $x$. Se observa que si se duplican las vueltas se duplican los metros. La constante de proporcionalidad es (cualquier $y$ entre su respectivo valor de $x$):

$$k=\frac{3800}{4}=950$$

Recordemos que el valor de esta constante es el mismo que el de la variable dependiente ($y$) cuando la independiente ($x$) es $1$.

Al fin de cuentas, la expresión algebraica es:

$$y=950x$$

Por lo tanto para 5 vueltas ($x=5$):

$$y=950\left ( 5 \right )= 4750$

Se recorren 4750 metros.

Por último vamos a analizar dos tablas que presentan las listas de precios en dos establecimientos: 

Los precios de La Jicarita presentan una relación de proporción directa, respecto a las piezas compradas, pues vemos que el precio de $6$ piezas es el doble que el precio de $3$ piezas, como debe ser en este tipo de relación. En cambio en El Surtidor no sucede esto, ya que $2$ piezas cuestan $19$ y $4$ piezas, $39$. Si las piezas se duplican, el precio no.

En La Jicarita, podemos encontrar una expresión algebraica de la forma, $y=kx$. La variable $y$ representa el costo, es la variable dependiente, pues su valor depende de la cantidad de piezas ($x$ variable independiente). De la tabla, observando el valor unitario de la $x$, vemos que el valor de la constante de proporcionalidad es $8$.

En ocasiones, hay que encontrar valores faltantes en una tabla de variación proporcional. Ejemplo:

El momento en que se ve un rayo, se considera igual al momento en que cae, pero el sonido llega unos segundos después. Manuel midió con un cronométro 4s entre la luz de un rayo y el sonido del estruendo y dice que el rayo cayó 1372 m de distancia del lugar donde el se encontraba. ¿Cómo podemos construir una tabla de variación proporcional directa con los datos que se muestran en la siguiente tabla?

Como es una proporción directa al ser 2,  la mitad de 4, la distancia para  2 segundos es la mitad de 1372, es decir 686.

También podemos encontrar la constante de proporcionalidad dividiendo un valor de $y$ entre su respectivo valor de $x$, por ejemplo:

$$\frac{1372}{4}=343$$

Entonces basta multiplicar cada valor del tiempo por esta cantidad:

$$(3.6)(343)= 1234.8$$

$$(5.4)(343)=1852.2$$

Con esto la tabla nos queda:

Esto nos da una manera de calcular la distancia a la que cayó un rayo, cuando veamos la luz contamos hasta escuchar el estruendo, los segundo que pasen en ese lapso se multiplican por 343 y obtenemos la distancia de donde estamos hasta donde cayó el rayo.

Otra de resolver problemas de valores faltantes en relaciones de proporcionalidad directa es con la regla de tres, para ver como funciona reslveremos el siguiente ejercicio:

Si 40 vacas consumen 4200 kg de forraje, ¿cuánto forraje consumirán 13 vacas? 

Para poder utilizar la regla de tres primero nos cercioramos de que estamos trabajando con una proporción directa. Esto es fácil, basta observar que cero vacas comen cero kilogramos de forraje (ambas variables son cero al mismo tiempo) y si duplicamos el número de vacas se duplica la cantidad de forraje. 

Una vez hecho esto vamos a la regla de tres, esta se basa en la propiedad de la proporción directa de dar siempre lo mismo al dividir las variables correspondientes. Vamos a dividir los kilogramos entre el número de vacas, para esto llamamos $y$ a los kilogramos que corresponden a 13 vacas:

$$\frac{4200}{40}=\frac{y}{13}$$

 La variable desconocida se encuentra multiplicando en diagonal los valores conocidos y dividiendo el resultado entre el dato que no hemos utilizado:

$$y=\frac{(13)(4200)}{40}=\frac{54600}{40}=1365$$