Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 5 de octubre.

 ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

ÉNFASIS

Formular un sistema de ecuaciones lineales 2x2 que permita resolver una situación de diferentes maneras.

Una ecuación es una igualdad que relaciona valores desconocidos mediante operaciones aritméticas.Cuando únicamente hay una incógnita esta se puede obtener de una ecuación. Pero si hay más valores desconocidos, para determinarlos, se requiere una ecuación por cada uno de ellos. Esto significa que si hay dos cantidades por conocer, estos se pueden especificar solo con dos ecuaciones y es lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2x2.

Vamos a comenzar con el siguiente reto:

Encontrar dos números cuya suma sea 37 y su diferencia sea 9.

Si llamamos a un número $x$ y al otro $y$, tenemos dos ecuaciones.

$$x+y=37$$

$$x-y=9$$

Es importante recalcar que con una sola ecuación, no podemos determinar de manera única los número. Por ejemplo, si solo supieramos que suman 37 habría muchas soluciones, hay una infinidad de números que cumplen con esto. Cuando damos otra condición (una ecuación más) garantizamos que unicamente un par de números cumplen con las dos.

Una forma de resolver este sistema de ecuaciones de 2x2, es mediante el método de ensayo y error, dando valores a la $x$ y a la $y$. Por ejemplo si $x=30$ y $y=7$ se cumple que suman treintaisiete, pero $30-7=23$, su diferencia no es nueve.

Una forma más organizada es realizar una tabla como la siguiente:

 

omamos números que suman 37, comenzamos con $36+1$, $x=36$ y $y=1$, en la tercer columna ponemos la suma y en cuarta la resta (o diferencia). A la $x$ le vamos restando uno y a la $y$ se le suma. Esto se hace hasta encontrar los números que cumplen con las dos condiciones, sumar 37 y que su resta sea 9. En la tabla se muestra el renglón con amarillo. Los valores que resuelven el reto son: $x=23$ y $y=14$

Vamos resolver otro ejercicio

La señora Angélica fue al mercado y compró 2 kilogramos de tomate y 1 kilogramo de cebolla. Pagó $55 en total. En el mismo puesto, la señora Silvia compró 1 kilogramo de tomate y 2 kilogramos de cebolla. Pagó $50. ¿Cuál es el costo del kilogramo de tomate y de cebolla.

Si al precio del kilogramos de tomate le llamamos $x$ y al de cebolla le llamamos $y$, podemos hacer una ecuación con la información de cada una. Para la señora Angélica:

$$2x+y=55$$

$2x$ es el costo de los dos kilos de tomate. Y para la señora Silvia:

$$x+2y=50$$

$2y$ es el costo de los dos kilogramos de cebolla.

Tenemos un sistema de ecuaciones de 2x2

$$2x+y=55$$

$$x+2y=50$$

Vamos a utilizar el método de ensayo y error. Probaremos con $x=15$ y $y=25$.

 En la primer ecuación:

$$2\left ( 15 \right )+25=30+25=55$$

El doble de $x$ más $y$ si da 55. Ahora probamos en la segunda:

$$15+2\left ( 25 \right )=15+50=65$$

$x$ más el doble de $y$ no da 50, por lo tanto los valores de $x=15$ y $y=25$ no resuelven el problema.

Ahora probaremos con $x=20$ y $y=15$

En la primer ecuación:

$$2\left ( 20 \right )+15=40+15=55$$

El doble de $x$ más $y$ si da 55. Ahora probamos en la segunda:

$$20+2\left ( 15 \right )=20+30=50$$

$x$ más el doble de $y$ sí da 50, por lo tanto los valores de $x=20$ y $y=15$  resuelven el problema.

El kilogramo de tomate tiene un precio de $20 y el de cebolla de $15. 

Un último ejercicio para concluir

Se pueden plantear varios problemas, entre ellos:

La suma de dos número es 47 y su diferencia es de 3. ¿Cuáles son esos números?

¿Cual es el costo de dos productos si juntos cuestan $47 y uno es $3 más caro que el otro?

Entre Isaac y Gabriel tienen 47 carros de juguetes de colección. Si Isaac tiene 3 carros más que Gabriel, ¿Cuántos carros tiene cada uno?

En una tienda tienen perfumes de dama y caballero almacenados en una caja. En total tienen 47 perfumes, el número de perfumes para dama rebasa al número de perfumes para caballero en tres piezas. ¿Cuántos perfumes hay de cada tipo?

Todos estos casos o situaciones se pueden modelar con el sistema de ecuaciones:

$$x+y=47$$

$$x-y=3$$

Hasta ahora la única forma de resolver este sistema es mediante ensayo y error, es decir, buscar números que sumen 47, como 20 y 27, pero con una diferencia de tres unidades (20 y 27 no cumplen esto, su diferencia es de 7). Si seguimos buscando encontramos que 25 y 22 satisfacen las dos condiciones, suman 47 y su diferencia es 3.

En general un sistema de ecuaciones de 2x2 tiene la forma:

$$ax+by=c$$

$$dx+ey=f$$ 

Donde a, b, c, d, e y f son constantes que dependen de la situación que se modele y $x$ y $y$ son las incógnitas. En las siguientes entradas estaremos viendo métodos más concretos para resolver estos sistemas.