Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 29 de septiembre.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y REPARTO PROPORCIONAL

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de proporcionalidad inversa y de reparto proporcional.

ÉNFASIS

Identificar las diferencias entre una variación de proporcionalidad directa con las de constante aditiva y resolver problemas de reparto proporcional.

Hemos visto la proporción directa se da cuando dos magnitudes están relacionadas de tal forma que  si una crece o disminuye, la otra hace lo mismo en la misma proporción. Decir en la misma proporción significa que en cada paso del proceso al dividir los valores de una entre la otra se obtiene siempre lo mismo. 

Pero no todos los casos en que ambas magnitudes crecen son de proporción directa, para ver esto presentamos el siguiente ejemplo:

Un grupo de amigos saldrá de vacaciones y rentarán un automovil. La casa arrendadora les ofrece dos opciones:

Opción 1: El automovil tiene un costo de $\$520$ por día.

Opción 2: El automovil tiene un costo diario de $\$400$ más un pago inicial de $\$420$.

¿Qué opción les conviene más a los amigos? Si rentan el automovil 5 días, ¿cuánto tienen que pagar en cada caso?

Si analizamos la Opción 1, vemos que por cada día que pasa pagamos $520, por lo tanto se puede construir la siguiente tabla:

Con la Opción 2 hacemos lo mismo pero aquí notamos que el primer día se da el pago inicial y lo del día $400+420=820$ y después por cada día se suman $400$.

La Opción 1, presenta una proporción directa, ya que al duplicar los días (de $3$ a $6$ por ejemplo), se duplica el costo (de 1560 a 3120). Podemos ver (por el valor unitario de la $x$) que la constante de proporcionalidad es 520, por lo cual:

$$y=520x$$

En la Opción 2, no pasa esto, si duplicamos los días (de $2$ a $4$ por ejemplo) no se duplica el costo. Y aunque no es una proporción directa, estas variables se relacionan de una manera interesante. A partir del primer valor, se va sumando la misma cantidad (400 en este caso), a esta cantidad se le llama razón de cambio y es una constante que multiplica a la variable independiente (la $x$) pero al resultado se le debe sumar el costo inicial.

La expresión algebraica tiene la forma:

$$y=kx+b$$

Aquí en lugar de constante de proporcionalidad, hay dos constantes, una multiplicativa (la $k$ que es la razón de cambio o la cantidad que se va sumando) y otra aditiva (la $b$ la cantidad inicial). En este ejemplo $k=400$ y $b=420$, por lo tanto la expresión algebraica es:

$$y=400x+420$$

Este tipo de relación se llama variación lineal.

Recordemos que $x$ representa a los días y $y$ al costo, entonces con esta expresión podemos calcular el costo para la cantidad de días que queramos, basta sustituir el valor de $x$ adecuado. Por ejemplo para $8$ días ($x=8$):

$$y=400\left ( 8 \right )+420=3200+420=3620$$

Se pagarían $3620.

De las tablas podemos responder la pregunta del problema, ¿cuál compañia nos conviene? La Opción 2, pues ahí pagariamos $2420.

 

Otro tipo de problemas es el de Reparto proporcional

Aquí no se trata de relacionar dos variables, sino de distribuir una cantidad en partes proporcionales a cierta condición. Vamos a poner un ejemplo:

1.- Un grupo de amigos se reunen para pintar una barda. Si Jimena trabajó 4 horas, Susana 2 y Luís una. ¿Cuánto le toca a cada uno si en total les pagaron $420?

Aquí el reparto va a ser de acuerdo a las horas trabajadas. Una forma de resolverlo es encontrando el valor unitario, que en este caso es el pago por cada horade trabajo. Si sumamos los tiempos de cada uno obtenemos 7 horas y al dividir 420 entre 7 obtenemos 60, esto quiere decir que por cada hora trabajada se pagan $60. Por lo tanto: 

Si Jimena trabajó 4 horas, le tocan $240.

Si Susana trabajó 2 horas, le tocan $120.

Y a Luís que trabajo una hora, le tocan $60.

El valor unitario se puede conseguir dividiendo la cantidad a repartir entre la suma de los atributos necesarios para conseguirla. Esto se muestra en el siguiente ejercicio:

2.- Cuatro amigos ganan en una rifa $8400. Si para comprar el boleto cooperaron como se muestra:

Luís: $25.

Arturo: $30.

Carla: $45.

María: $20.

Si realizan un reparto proporcional, ¿cuánto le toca a cada uno? 

Para resolverlo encontramos el valor unitario, según dijimos este se encuentra dividiendo la cantidad a repartir entre la suma de los atributos necesarios para conseguirla, por lo tanto:

$$\frac{8400}{25+30+45+20}=\frac{8400}{120}=70$$

Esto quiere decir que por cada peso que cooperaron les tocan $70. Por lo tanto: 

A Luís le tocan: (25)(70)=1750 pesos.

A Arturo: (30)(70)= 2100 pesos.

A Carla: (45)(70)=3150 pesos.

A María: (20)(70)=1400 pesos.