Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 6 de octubre.
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
APRENDIZAJE ESPERADO
Resuelve problemas
mediante la
formulación y
solución algebraica
de sistemas de dos
ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
ÉNFASIS
Interpretar el significado que tienen las incógnitas en ambas ecuaciones de un sistema.
Todavía no entraremos a resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 con los métodos tradicionales, en esta entrada vamos a seguir estudiando sus propiedades, para poder determinar cuando se pueden formar y bajo qué condiciones se pueden resolver. No todos los ejemplos se van a trabajar hasta encontrar los valores de las incógnitas, pero cuando se hagan se utilizará el método de ensayo y error.
Las características de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son:
- Debe haber dos ecuaciones y dos incógnitas. Estas ecuaciones modelan las condiciones planteadas en el problema.
- Las incógnitas deben tener exponente 1 (que de hecho no se escribe), esto hace que las ecuaciones sean lineales y por lo tanto su gráfica sea una recta.
Vamos con el primer ejemplo:
Esperanza tiene el cuadruple de la edad de su hijo Rodrigo. Dentro de 12 años, la edad de ella será el doble de la de su hijo. ¿Cuántos años le lleva la madre a Rodrigo?
Tenemos dos incógnitas que deben determinarse:
La edad de Esperanza: $e$
La edad de Rodrigo: $r$
La edad de Esperanza es el cuádruple de la de Rodrigo: $e=4r$
Dentro de 12 años Esperanza tendrá $e+12$ y Rodrigo $r+12$ (en ambos pasarán 12 años). En ese entonces la edad de Esperanza será el doble de la de Rodrigo: $e+12=2\left ( r+12 \right )$.
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:
$$e=4r$$
$$e+12=2\left ( r+12 \right )$$
Las incógnitas tienen exponente 1, por lo tanto las ecuaciones son lineales y tenemos un sistema que cumple con las características mencionadas. Sin embargo este sistema no tiene la forma que se mencionó en la entrada anterior:
$$ax+by=c$$
$$dx+ey=f$$
Para ver si el sistema que hemos encontrado se parece a este, hay que hacer las siguientes modificaciones:
- Quitar paréntesis haciendo todas las operaciones necesrias.
- Todos los términos con incógnitas se pasan al lado izquierdo.
- Al lado derecho quedan puras constantes.
La primera ecuación que encontramos es:
$$e=4r$$
Hay incógnitas a ambos lados de la ecuación. Se pasa el $4r$ al lado izquierdo y nos queda:
$$e-4r=0$$
Esta ya tiene la forma deseada.
En la otra:
$$e+12=2\left ( r+12 \right )$$
Primero quitamos el paréntesis haciendo la multiplicación que está al lado izquierdo:
$$e+12=2r+24$$
Ahora pasamos el $2r$ al lado izquierdo y el $12$ al derecho.
$$e+2r=24-12=12$$
La ecuación queda:
$$e+2r=12$$
Y el sistema:
$$e-4r=0$$
$$e+2r=12$$
Ya esta como queríamos.
Seguimos con otro ejemplo:
La semana pasada el kilogramo de aguacate estuvo a $\$90$ el kilogramo y el de jitomate a $\$10$. Juanita pagó por ambos productos $\$320$. esta semana el aguacate estuvo a $\$60$ el kilogramo y el jitomate a $\$12$. Juanita compró la misma cantidad de ambos productos pagando $\$240$. ¿Cuántos kilogramos de cada producto compro en ambas ocasiones?
Si llamamos $a$ a los kilogramos de aguacate, como el kilogramos costaba $\$90$, gasto $90a$ (se multiplica cada kilogramo por lo que cuesta).
Si identificamos con $j$ a los kilogramos de jitomate, como el kilogramos costaba $$\10$, gastó $10j$
Por lo tanto el gasto toal es la suma de estas dos expresiones y es igual a $\$320$, esto se expresa:
$$90a+10j=320$$
Considerando los precios de la segunda semana llegamos a una ecuación semejante:
$$60a+12j=240$$
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen las características que habiamos mencionado.
Modelaremos otro problema:
Nery juntó 15 monedas que pueden ser de $\$2$ o de $\$5$. Si en total tiene $\$48$. ¿Cuántas monedas tiene de cada denominación?
Si tiene $x$ de $\$2$, con ellas tiene $2x$ pesos y si tiene $y$ de $\$5$ le dan $5y$ pesos más. Como en total tiene 15 monedas:
$$x+y=15$$
Y su ahorro es la suma de lo que tiene con monedas de $\$2$ ($2x$) y las que juntó con las de $\$5$ ($5y$), por lo tanto:
$$2x+5y=48$$
Y ya tenemos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Nos podemos plantear varias preguntas, por ejemplo: ¡Puede Nery tener 8 monedas de $\$5$? Si tiene 8 monedas de $\$5$ ($\$40$), tendra 7 de $\$2$ ($\$14$), pues en total tiene 15 monedas y si sumamos $40 +12$ nos da 52. Esto significa que Nerý no puede tener 8 monedas de 5 pesos por que su ahorro es de 48 pesos no de 52.
¿Puede tener 6 monedas de $\$5$? Si tiene 6 de 5 pesos (son 30 pesos) tendría 9 de 2 pesos (18 pesos) para completar las 15 monedas y $30+18= 48$. La respuesta es si. Tiene 6 de $\$5$ y 9 de $\$2$.
Pasamos al siguiente ejercicio:
El entrenador está muy contento porque de después de 12 partidos invictos estamos en primer lugar del torneo con 26 puntos. ¿Saben cuántos partidos ganamos y cuántos empatamos?
Denotamos con $g$ a los partidos ganados, como hay tres puntos por cada uno, estos nos dan $3g$ puntos.
Llamamos $e$ a los partidos empatados, coomo cada uno nos da 1 punto, con ellos ganamos $e$ puntos. Según la información del ejercicio hay en total 12 partidos (ganados y empatados suman 12, no han perdido), por lo tanto:
$$g+e=12$$
Como en total tienen 26 puntos:
$$3g+e=26$$
Y ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La respuesta despues de probar números que sumen 12 es: $g=7$ y $e=5$. Pues:
$$3\left ( 7 \right )+5=21+5=26$$
Por último:
Un posible problema podría ser:
En este caso puede ser un poco más complicado encontrar la solución por ensayo y error. Queremos dos números que sumen 45 y cuya diferencia sea siete, podemos probar con los parejas: $x=1$ y $y=44$, pero la $y$ no es mayor que la $x$ por siete unidades. Incrementamos 1 a la $x$ y se lo restamos a la $y$, para obtener: $x=2$ y $y=43$. También suman 45 pero no difieren en 7. Si seguimos este proceso no vamos a encontrar irremediablemente con:$x=19$ y $y=26$ que suman 45 y la $y$ si es mayor con siete unidades que la $x$.
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