Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 2 de octubre.

 PROPORCIÓN DIRECTA E INVERSA

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de proporcionalidad directa, inversa y de reparto proporcional.

ÉNFASIS

Analizar situaciones problemáticas que se resuelven mediante relaciones de variación de proporcionalidad y argumentar el resultado obtenido.

El objetivo de esta sesión es identificar qué tipo de relación existe entre las variables presentes en cada situación que se presenta. Para esto vamos a presentar las características de la proporción directa e inversa:

Comenzamos con  la proporcionalidad directa:

1. Las variables crecen o disminuyen en la misma proporción. Si una de ellas se triplica la otra cambia igual y si una de ellas se reduce a la mitad, la otra también.
2. Las dos variables son cero al mismo tiempo, es decir, si una de ellas es cero, la otra también.
3. Al dividir una entre la otra siempre obtenemos la misma cantidad.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$y=kx$$

$$x=ky$$  

$$\frac{y}{x}=k$$

$$\frac{x}{y}=k$$

Ahora con la proporcionalidad inversa:

1. Si una variable crece, la otra disminuye en la misma proporción o viceversa. Si una de ellas se duplica la otra se divide entre dos. Si una de ellas se reduce a la cuarta parte, la otra se multiplica por cuatro.
2. Ninguna de ellas puede ser cero.
3. Al multiplicar cada par de variables correspondientes siempre se obiene lo mismo.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$xy=k$$

$$y=\frac{k}{x}$$

$$x=\frac{k}{y}$$

1.- Luis elabora cajas artesanales que tienen forma hexagonal, de un pliego de cartoncillo logra obtener $10$ cajas pequeñas. ¿Cuántos pliegos de ese cartoncillo necesita para elaborar $35$ de esas cajas?

Si duplicamos la cantidad de cartoncillos se duplica la cantidad de cajas, es una proporción directa y su expresión algebraica puede ser:

$$y=kx$$

$y$ es la cantidad de cajas y $x$ el número de cartoncillos.

La constante de proporcionalidad es el resultado de dividir un valor de $y$ entre su respectivo valor de $x$, en este caso sabemos que $x=1$ corresponde con $y=10$$ (Con un cartoncillo hace diez cajas).

$$k=\frac{y}{x}=\frac{10}{1}=10$$

Por lo tanto la expresión es:

$y=10x$

Queremos saber el valor de $x$ si $y=35$, simplemente despejamos y sustituimos:

$$x=\frac{y}{10}=\frac{35}{10}=3.5$$

Se requieren $3,5$ cartoncillos.

2.- Si en la fábrica de Luis, $4$ personas terminan un trabajo en $8$ días, pero se necesita entregarlo en $2$. ¿Cuántas personas se requieren para terminar el pedido en el tiempo establecido?

Como vimo en la sesión anterior, es un caso típico de proporcionalidad inversa. Tenemos dos variables, el número de personas ($x$) y la cantidad de días ($y$). Y sabemos que al multiplicar cada par de estas variables, obtenemos el mismo valor (constante de proporcionalidad), en este caso como $4$ personas hacen el trabajo en $8$ días:

$$k= \left ( 4 \right )\left ( 8 \right )= 32$$

La expresión algebraica es:

$$xy=32$$

Queremos encontrar el valor de $x$ (¿cuántos trabajadores?) para que el trabajo se haga en $2$ días ($y=2$).

Despejamos y sustituimos:

$$x=\frac{32}{y}=\frac{32}{2}=16$$

Se necesitan $16$ trabajadares.

En la proporcionalidad directa, se aplica la regla de tres para encontrar un valor faltante, esta implica multiplar de forma cruzada y dividir entre el dato que queda suelto, como se observa en la siguiente imagen:

El valor de la $x$ que falta es:

$$x=\frac{\left ( 56 \right )\left ( 4 \right )}{14}=\frac{224}{14}=16$$

En una proporción inversa existe una regla de tres diferente, aquí se multiplica un par de variables correspondientes, no cruzados, y se divide entre el dato que queda suelto, como se observa en la siguiente imagen:

En este caso, el valor de la $x$ que falta es:

$$x=\frac{\left ( 5 \right )\left ( 12 \right )}{30}=\frac{60}{30}=2$$

Ahora otro ejemplo:

3.- En una fábrica de ropa, 6 máquina industriales se tardan 10 días en producir 600 vestidos, si las máquinas trabajan al mismo ritmo, ¿cuántos dpias tardarán en producir 1800 vestidos si se usan 10 máquinas?

En este ejercicio se relacionan tres magnitudes que pueden estar relacionadas entre si mediante proporciones directas o inversas, este tipo de proporción se llama múltiple. Para comenzar a resolverlo vamos a ordenar estos datos de la siguiente manera:

Se observa que son tres magnitudes y en cada una se puede formar una razón (división o cociente) entre sus valores:

Para las máquinas industriales la razón es: $\frac{6}{10}$

Para los vestidos: $\frac{600}{1800}$

Y para los días: $\frac{10}{x}$

Ahora se establece qué tipo de proporción tiene las magnitudes conocidas con la de la incógnita. Esto se ve en el siguiente esquema:

Entre lás máquinas y los días hay una proporción inversa, a mayor número de máquinas, se requiere menos días y viceversa. Entre los vestidos y los días la proporcionalidad es directa, entre más vestidos se hagan, se necesitan más días.

Para encontrar el valor que falta, se multiplican las razones con ambos datos conocidos (en este caso los de las máquinas y vestidos) y se iguala a la razón que tiene  la incógnita. Pero si la magnitud tiene un relación de proporción inversa con con la que estamos buscando, la razón se invierte (se cambia por su recíproco). Como se ve en la imagen, únicamente el número de máquinas tiene una proporcionalidad inversa por lo tanto su razón se invierte, de $\frac{6}{10}$ a $\frac{10}{6}$, con esto:

$$\left ( \frac{10}{6} \right )\left ( \frac{600}{1800} \right )=\frac{6000}{10800}=\frac{10}{x}$$

De esta última expresión despejamos la $x$ mediante regla de tres considerando una proporción directa:

$$x=\frac{ \left ( 10 \right )\left ( 10800 \right )}{6000}=\frac{108000}{6000}=18$$

La respuesta es $18$ horas.

Vamos a resolver un ejemplo más.

4.-Un grupo de $5$ albañiles tardan $16$ días en construir una bodega, trabajando $6$ horas diarias. ¿Cuántos albañiles construyen una bodega igual en $10$ días si trabajan 8 horas diarias.

Lo primero es ordenar los datos y establecer las relaciones de proporcionalidad.

Ahora escribimos las razones:

Para los días la razón es: $\frac{16}{10}$

Para las horas de trabajo: $\frac{6}{8}$

Y para los trabajadores: $\frac{5}{x}$

Como los días y las horas estan relacionados con los trabajadores mediante una proporción inversa, sus razones se invierten: en los días de $\frac{16}{10}$ a $\frac{10}{16}$ y en las horas de $\frac{6}{8}$ a $\frac{8}{6}$

Y aquí lo importante, el producto de las razones con datos conocidos, es igual a la razón que tiene la incógnita.

$$\left ( \frac{10}{16} \right )\left ( \frac{8}{6} \right )=\frac{80}{96}=\frac{5}{x}$$

De aquí despejamos la $x$.

$$x=\frac{ \left ( 10 \right )\left ( 96 \right )}{80}=\frac{480}{80}=6$$

La respuesta es $6$ trabajadores.