Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 30 de septiembre.
PROPORCIONALIDAD INVERSA Y SU EXPRESIÓN GENERAL
APRENDIZAJE ESPERADO
Resuelve problemas de proporcionalidad inversa y de reparto proporcional.
ÉNFASIS
Diferenciar el tipo de proporcionalidad (directa e inversa) que representa una situación a partir de la forma en que varía, y reconocer la expresión general de una relación de proporcionalidad inversa.
Otro tipo de relación entre magnitudes, es la proporción inversa, esta tiene las siguientes características:
- Si una variable crece, la otra disminuye en la misma proporción o viceversa. Si una de ellas se duplica la otra se divide entre dos. Si una de ellas se reduce a la cuarta parte, la otra se multiplica por cuatro.
- Ninguna de ellas puede ser cero.
- Al multiplicar cada par de variables correspondientes siempre se obiene lo mismo.
- Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:
xy=k
y=\frac{k}{x}
x=\frac{k}{y}
Como ejercicio planteamos dos retos:
1.- Identifica que tipo de proporción representa cada una de las siguientes tablas:
Esta es una proporción inversa, una forma fácil de identificarla es observar que al multiplicar cada par de variables correspondientes, siempre se obtiene 60:
(2)(30)=60
(3)(20)=60
(4)(15)=60
(5)(12)=60
Esta
no es ninguna de las dos, no puede ser proporción directa porque cuando
la x es cero, la y no lo es. Y no puede ser inversa porque en esta
proporción está prohibido que cualquiera de las variables sea cero.
Esta es una proporción directa, basta ver que al dividir cada valor de y entre su correspondiente x siempre se obtiene 6.
\frac{12}{2}=6
\frac{18}{3}=6
\frac{36}{6}=6
\frac{54}{9}=6
2.- Identifica que tipo de proporción representa cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
x=\frac{3}{2y}
Observando las expresiones presentadas para cada tipo de proporcionalidad podemos ver que es una proporción inversa. Si no queda claro tenemos la opción de pasar la y del lado derecho al izquierdo, como está dividiendo pasa multiplicando:
xy=\frac{3}{2}
De donde podemos ver que al multiplicar la x por la y siempre obtenemos tres medios, por lo cual la proporción es inversa.
\frac{y}{x}=7
Esta es una proporción lineal, ya que al dividir la y entre la x siempre obtenemos 7.
y=2x-2
Esta no es directa ni inversa, pues si x=1
y=2(1)-2=2-2=0
En las directas, ambas tendrían que ser cero y en las inversas, ninguna. De hecho esta expresión representa una variación lineal,
Vamos analizar el siguiente ejemplo:
Algo intuitivo y que se puede observar en la tabla es que entre más alumnos vayan, el costo disminuye. Si lo repartimos entre más personas, pagamos menos. Pero ademas, vemos que:
\left ( 7 \right )\left ( 60 \right )=420
\left ( 14 \right )\left ( 30 \right )=420
Y así, todos los pares de variables al multiplicarse dan 420, por lo tanto la expresión algebraica es:
xy=420
Aquí x representa la cantidad de alumnos y y el costo que pagarán.
O también:
y=\frac{420}{x}
A partir de esta expresión podemos encontrar cuanto pagarán 30 alumnos (x=30)
y=\frac{420}{30}=14
Pagarán \$14.
Ahora analizaremos la siguiente tabla:
Observamos que cuando el tiempo crece, la rapidez disminuye y que si multiplicamos cada par de valores de tiempo y rápidez, obtenemos el mismo valor: 75.
\left ( 3 \right )\left ( 25 \right )=75
\left ( 1.5 \right )\left ( 50 \right )=75
Este es el valor de k y nos da la distancia que recorre.
Por lo tanto la expresión algebraica es:
y=\frac{75}{x}
y es la rápidez y x son las horas. Ahora responadmos, ¿cuál será su rapidez si tarda 2 horas?
y=\frac{75}{2}=37.5.
Vamos con un ejemplo más:
En la siguiente imagen se muestran los datos de rectángulos con la misma área:
Como tienen son rectángulos con la misma área, el producto de la base (que llamaremos x) con la altura (que llamaremos y) es siempre igual y a 24 (pues es el área del rectángulo 1, basta multiplicar 3 por 8).
Podemos expresar esto de la siguiente forma:
xy=24
Podemos despejar la y:
y=\frac{24}{x}
O la x
x=\frac{24}{y}
Por lo tanto si la altura vale 4 (x=4):
x=\frac{24}{4}=6
Si la base vale 2 (x=2)
y=\frac{24}{2}=12
Con esto la tabla nos queda:
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