Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 30 de septiembre.

PROPORCIONALIDAD INVERSA Y SU EXPRESIÓN GENERAL

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de proporcionalidad inversa y de reparto proporcional.

ÉNFASIS

Diferenciar el tipo de proporcionalidad (directa e inversa) que representa una situación a partir de la forma en que varía, y reconocer la expresión general de una relación de proporcionalidad inversa.

Otro tipo de relación entre magnitudes, es la proporción inversa, esta tiene las siguientes  características:

1. Si una variable crece, la otra disminuye en la misma proporción o viceversa. Si una de ellas se duplica la otra se divide entre dos. Si una de ellas se reduce a la cuarta parte, la otra se multiplica por cuatro.
2. Ninguna de ellas puede ser cero.
3. Al multiplicar cada par de variables correspondientes siempre se obiene lo mismo.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$xy=k$$

$$y=\frac{k}{x}$$

$$x=\frac{k}{y}$$

Como ejercicio planteamos dos retos:

1.- Identifica que tipo de proporción representa cada una de las siguientes tablas:

 

Esta es una proporción inversa, una forma fácil de identificarla es observar que al multiplicar cada par de variables correspondientes, siempre se obtiene 60:

$$(2)(30)=60$$

$$(3)(20)=60$$

$$(4)(15)=60$$

$$(5)(12)=60$$

Esta no es ninguna de las dos, no puede ser proporción directa porque cuando la $x$ es cero, la $y$ no lo es. Y no puede ser inversa porque en esta proporción está prohibido que cualquiera de las variables sea cero.
 

Esta es una proporción directa, basta ver que al dividir cada valor de $y$ entre su correspondiente $x$ siempre se obtiene 6.

$$\frac{12}{2}=6$$

$$\frac{18}{3}=6$$

$$\frac{36}{6}=6$$

$$\frac{54}{9}=6$$

 2.- Identifica que tipo de proporción representa cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

$$x=\frac{3}{2y}$$

Observando las expresiones presentadas para cada tipo de proporcionalidad podemos ver que es una proporción inversa. Si no queda claro tenemos la opción de pasar la $y$ del lado derecho al izquierdo, como está dividiendo pasa multiplicando: 

$$xy=\frac{3}{2}$$

De donde podemos ver que al multiplicar la $x$ por la $y$ siempre obtenemos tres medios, por lo cual la proporción es inversa.

$$\frac{y}{x}=7$$

Esta es una proporción lineal, ya que al dividir la $y$ entre la $x$ siempre obtenemos 7. 

$$y=2x-2$$

Esta no es directa ni inversa, pues si $x=1$

$$y=2(1)-2=2-2=0$$

En las directas, ambas tendrían que ser cero y en las inversas, ninguna. De hecho esta expresión representa una variación lineal,

Vamos analizar el siguiente ejemplo:

Algo intuitivo y que se puede observar en la tabla es que entre más alumnos vayan, el costo disminuye. Si lo repartimos entre más personas, pagamos menos. Pero ademas, vemos que:

$$\left ( 7 \right )\left ( 60 \right )=420$$

$$\left ( 14 \right )\left ( 30 \right )=420$$

Y así, todos los pares de variables al multiplicarse dan $420$, por lo tanto la expresión algebraica es:

$$xy=420$$ 

Aquí $x$ representa la cantidad de alumnos y $y$ el costo que pagarán.

O también:

$$y=\frac{420}{x}$$

A partir de esta expresión podemos encontrar cuanto  pagarán 30 alumnos ($x=30$)

$$y=\frac{420}{30}=14$$

Pagarán $\$14$.

Ahora analizaremos la siguiente tabla:

Observamos que cuando el tiempo crece, la rapidez disminuye y que si multiplicamos cada par de valores de tiempo y rápidez, obtenemos el mismo valor: $75$. 

 $$\left ( 3 \right )\left ( 25 \right )=75$$

$$\left ( 1.5 \right )\left ( 50 \right )=75$$

Este es el valor de $k$ y nos da la distancia que recorre.

Por lo tanto la expresión algebraica es:

$$y=\frac{75}{x}$$

$y$ es la rápidez y $x$ son las horas. Ahora responadmos, ¿cuál será su rapidez si tarda 2 horas?

$$y=\frac{75}{2}=37.5$$.

Vamos con un ejemplo más:

En la siguiente imagen se muestran los datos de rectángulos con la misma área:

 Como tienen son rectángulos con la misma área, el producto de la base (que llamaremos $x$) con la altura (que llamaremos $y$) es siempre igual y a 24 (pues es el área del rectángulo 1, basta multiplicar 3 por 8).

Podemos expresar esto de la siguiente forma:

$$xy=24$$

Podemos despejar la $y$:

$$y=\frac{24}{x}$$

O la $x$

$$x=\frac{24}{y}$$

Por lo tanto si la altura vale 4 ($x=4$):

$$x=\frac{24}{4}=6$$

Si la base vale 2 ($x=2$)

$$y=\frac{24}{2}=12$$

Con esto la tabla nos queda: