Aprende en casa 2. Matemáticas. Segundo de secundaria, 1 de octubre.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas de proporcionalidad inversa y de reparto proporcional.

ÉNFASIS

Comprender el concepto de la variación proporcional inversa para dar sentido a su representación algebraica.

Ya hemos visto que dos magnitudes, se pueden relacionar de tres maneras: proporcionalidad directa, inversa y variación lineal. En esta entrada trabajaremos la proporción inversa, por lo tanto vamos a repetir sus características:

1. Si una variable crece, la otra disminuye en la misma proporción o viceversa. Si una de ellas se duplica la otra se divide entre dos. Si una de ellas se reduce a la cuarta parte, la otra se multiplica por cuatro.
2. Ninguna de ellas puede ser cero.
3. Al multiplicar cada par de variables correspondientes siempre se obiene lo mismo.
4. Se puede representar algebraicamente de cualquiera de las siguientes formas:

$$xy=k$$

$$y=\frac{k}{x}$$

$$x=\frac{k}{y}$$

Ahora analizaremos algunas situaciones para ver si encontramos alguna de estas características.

1.- Un grupo de $3$ personas levantan en $10$ días la cosecha de un sembradío, ¿cuánto tardarán 15 personas en levantar la cosecha? Asumiendo que el ritmo de trabajo es el mismo en todos los trabajadores.

De manera intuitiva sabemos que al realizar un trabajo, entre más personas lo hagan, tardarán menos tiempo en hacerlo. Es decir, si el número de personas aumenta, los días para realizar el trabajo disminuyen. 

Sin embargo esto no garantiza que sea una proporcionalidad inversa, falta averiguar que la disminucion sea en la misma proporción que el aumento. Pero, ¿qué significa esto? Es fácil, si algo aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad; si aumenta al triple la otra disminuye en un tercio y así sucesivamente. O de otra forma, si una magnitud se multiplica por cierta cantidad, la otra se divide entre la misma, lo que garantiza que el producto entre ellas no cambia. 

Si la cantidad de trabajadores aumenta al doble, el tiempo de trabajo se reduce a la mitad. Esto nos garantiza que la proporción es inversa y nos da una forma de resolver el ejercicio, las personas pasan de $3$ a $15$ es decir se multiplican por $5$ por lo tanto el tiempo se divide entre $5$ y $\frac{10}{5}= 2$. esto significa que se requieren dos días.

Otra forma de resolverlo es mediante las características de la proporción inversa. En esta, al multiplicar las variables correspondientes siempre da lo mismo. Esto significa que si multiplicamos las personas por los días, obtenemos la misma cantida, llamada constante de proporcionalidad. En este caso, llamando $y$ al tiempo que tardan las $15$ personas:

Multiplicamos $3$ personas por el tiempo que tardan ($10$) y debe ser igual al producto de $15$ personas por el tiempo que tardan ($y$)

$$\left ( 3 \right )\left ( 10 \right )=\left ( 15 \right )\left (y  \right )$$

Despejando:

$$y=\frac{\left ( 3 \right )\left ( 10 \right )}{15}=\frac{30}{15}=2$$

Recordemos que la expresión algebraica para esta proporción es:

$$xy=k$$ 

Aquí $x$ representa al número de personas.

La constante de proporcionalidad se encuentra multiplicando dos valores respectivos de las variables. En este caso es $\left ( 3 \right ) \left ( 10 \right )=30$$, por lo tanto la expresión algebraica tiene la forma:

$$xy=30$$

2.- Un grupo de tres amigos deciden salir de campamento, llevan víveres para 20 días. Al llegar al campamento el grupo  se amplía a 12 amigos. ¿Cuántos días les durarán los víveres? Considerando que todos consumen la misma cantidad. 

Como al aumentar el número de amigos los víveres durarán menos días y al duplicar el número de amigos, los días disminuyen a la mitas, la proporción es inversa. Si $x$ representa al número de personas y $y$ a la cantidad de días, sabemos que se relacionan de la siguiente forma:

$$xy=k$$ 

Al multiplicar dos valores respectivos de las variables siempre obtenemos la misma cantidad (la constante $k$). Entonces vamos a multiplicar $3$ (amigos) por $20$ (días) y esto será igual al producto de 12 (amigos) por la incógnita $y$ (días).

$$\left ( 3 \right )\left ( 20 \right )=\left ( 12 \right )\left (y  \right )$$

Despejando:

$$y=\frac{\left ( 3 \right )\left ( 20 \right )}{12}=\frac{60}{12}=5$$

La  constante de proporcionalidad es 60 (el producto de $3$ por $20$ o de $12$ por $5$), con lo cual la expresión algebraica queda:

$$xy=60$$

3.- Un equipo de pintores barnizan una cerca de madera en $30$ horas. ¿Cuánto tiempo necesitan para barnizar la misma cerca con 9, 12, y 20 pintores?

Es un problema de trabajo donde se incrementan los trabajadores y el tiempo disminuye, ya vimos que en este tipo de ejercicios la variables se relacionan mediante una proporción inversa.

Tenomos que encontrar los datos faltantes en la siguiente tabla:

 

Vamos a establecer relaciones entre las variables:

$6$ pintores, $30$ horas.

$$6\rightarrow 30$$

$9$ pintores, $y_{1}$ horas

$$9\rightarrow y_{1}$$

$12$ pintores, $y_{2}$ horas

$$12\rightarrow y_{2}$$

$20$ pintores, $y_{3}$ horas

$$20\rightarrow y_{3}$$

Al multiplicar cada par de estos obtenemos la misma cantidad (la constante de proporcionalidad) que en este caso la podemos obtener multiplicando el primer par de valores (pues conocemos ambos).

$$k= \left ( 6 \right )\left ( 30 \right )=180$$

Por lo tanto todos los productos deben dar $180$, por lo tanto:

$$ \left ( 9 \right )\left ( y_{1} \right )= 180$$

$$y_{1}=\frac{180}{9}=20$$

Nueve pintores tardan veinte días.

$$ \left ( 12 \right )\left ( y_{2} \right )= 180$$

$$y_{2}=\frac{180}{12}=15$$

Doce pintores tardan quince días.

$$ \left ( 20\right )\left ( y_{3} \right )= 180$$

$$y_{3}=\frac{180}{20}=9$$

Veinte pintores tardan 9 días.

La tabla queda: 

 

 4.- Un grupo de amigos quiere rentar una casa que cuesta $6000 mensuales y tienen la posibilidad de quedarse a rentar desde 2 hasta 6 amigos. ¿Cuánto pagarían de renta dependiendo de la cantidad de amigos que se queden ella? ¿Cuál es la expresión algebraica que se utiliza para resolver el problema?

Se trata de una proporción inversa, entre más amigos hay van a pagar menos. Si llamamos $x$ a la cantidad de amigos y $y$ al monto que pagan, sabemos que la expresión algebraica es:

$$xy=6000$$

Porque al multiplicar la cantidad que van a pagar por el número de personas que hacen el pago, obtenemos el costo total de la renta.

Esta expresión se puede escribir:

$$y=\frac{6000}{x}$$ 

Basta sustituir el valor de $x$ correspondiente:

Para $2$ amigos, $x=2$

$$y=\frac{6000}{2}=3000$$

Pagan $\$3000$

Para $3$ amigos, $x=3$

$$y=\frac{6000}{3}=2000$$

Pagan $\$2000$

Para $4$ amigos, $x=4$

$$y=\frac{6000}{4}=1500$$

Pagan $\$1500$

Para $5$ amigos, $x=5$

$$y=\frac{6000}{5}=1200$$

Pagan $\$1200$

Para $6$ amigos, $x=6$

$$y=\frac{6000}{6}=1000$$

Pagan $\$1000$